A QE

Calculons les [ y] en fonction de x,, ,, x, :

1 (3), eo Ys= Ji); Vs 8(La).

I | AD ES Vs (di — Tarif Te),

C'est avec ces variables que nous étudierons désormais G. On peut former des équations finies des sous-groupes Y, et Y,

(Vi) PA a ea RE Mr Ta Ji

Il est facile de vérifier directement que lorsqu'on effectue sur x, x, x, une transformation du sous-groupe X, f (X:) A On ETAPE ÆS = Des Ly = L3+ b,

les y subissent une substitution du sous-groupe Y.. On peut reprendre sur Y, des considérations analogues

(X;) Line Dre Do be z,— de, EEE AE ES à rene Y:) Yi Jief Jr 2e", Man Jr SAE

En général, on ne peut former les équations finies de Y,. On vérifie sans peine que les relations de structureentreles Y sontidentiquement vérifiées quelles que soient la fonction A et l'équation fonctionnelle Ga F(8)=G() définit alors des fonctions ultrafuchsiennes Ya Vas Vas Ya Et l’on peut choisir G de telle sorte que pour x, = x, — 0, y; se réduise à une fonction fuchsienne arbitrairement donnée.

5. Domaine d'existence des transformations de G. — Dans le cas présent, les y sont des fonctions uniformes des x, il en résulté ainsi que nous l’avons établi dans la première Partie que les transformations | T de G sont biuniformes et correspondent biuniformément aux transformations de g. On peut du reste le vérifier directement.

Étudions le de d’existence d’une transformationy = TydeG. Deux cas peuvent se présenter :

° L'ensemble des points limites de (+’) forme une ligne continue; par exemple f,(x,) est une fonction fuchsienne admettant le cercle |æ, | = 1 comme coupure essentielle. Les fonctions y = f(x) ne sont donc définies que si |x,|<<1, par exemple. Soit £ la transformation de g homologue de T d'équations

ax; + bzx, 2 Cxl+ dx, ; AL + b Sn AAA LA RES 7e) Lay CL + d

CR A ec td On peut écrire les équations y’ = T y de T de la façon suivante: Y=J(x), J=fE), : x'=te.

y’ cessera d’être définie si |x,|> 1, c’est-à-dire si

Cuir dy C3 + d CL, + dX» : ‘ La multiplicité D 0 de l’espace x,, x,, x, a pour homo-.

logue une multiplicité £ de 3t; lorsque le point y traverse €, T cesse d’être définie. Dans le cas présent les transformations T admettent donc des coupures essentielles. x

Posons-nous le problème suivant : « Soit M un point de a, quelles sont les transformations T définies en ce point? » Soit x,, x,, #, le point homologue de l’espace x, on a évidemment |x, | 1, une trans-

: DEAN MCE formation T sera définie en M si | — <d.

CX +d — Li Æ Lo ë Si æ, et x, sont finis, Le tend vers x, lorsque 3 tend vers zéro

TEA d 3

et comme | x,

<1, la condition imposée sera certainement réalisée en

d pour T une transformation suffisamment voisine de la transformation identique.

Il n'en est plus de même si x», et x, sont infinis ; posons

prenant pour — une valeur suffisamment petite, ou encore en prenant

De EURE DS au) D AN

æ; étant infini et x, étant fini, on aura 4, — u, — 0 et la condition imposée s'écrit |u,|<C1.

Donc si|u,|>1 aucune transformation T, même infiniment petite n’est définie en M. Cherchons les coordonnées y de M. On a

I 4 [72 2 Yi=u;!+ St Hal NT Us) HT), Va (uius—ur)u f(x), us Y3= Ji (2).

Posons z,= y,', 3; =y,Y, ‘, 2, = y,; on déduit des équations précédentes : |

mue Loue) 2+ (Ge — wi) fi (2) Se ei di) Ji ts) À je 2 + (2 — ui) fR(æ) 33 f1(Z3); 2 4 22

U—= La + y 1)

DFE NET

Rte (72 n=f(#)

Doncsiu, =u,; =oetsi|u,| <1,ona

Zi — 0; 2/1 (2) 2% 2 FF (22) + 2f1(22) 3, arbitraire;