EUR

en un tel point de %, aucune transformation de (x n’existe. Par contre, si |u,|<1, toutes les transformations T sont définies

en ce point. Il est à remarquer que les points #, —u, — o font partie de A. Les points M tels que z, — 0 constituent ce que nous avons appelé A,; en ces points, on ne peut pas définir les transformations imfiniment petites de G.

On peut du reste retrouver ce résultat en se plaçant à a un autre point de vue. Le domaine d’existence des fonctions y est formé del” ensemble des points intérieurs à la multiplicité s|x, | = 1 ; on peut considérer 8 comme Annee par les multiplicités +, — C issues des points de O0: Lie 0: Or ces multiplicités De Cou us Cu; passent par la droite u, — u, — 0; en d’autres termes, la frontière du domaine d’existence des y Adi U, = u, —=0 comme ligne double. Écrivons la transformation £ avec les variables w :

j au; + bu: ; Cu + dus ; c + du; =) Us = — © ) Uy= —— ; a + bu; a + bu; a+ bu; appliquons £ au point &,,:0, 0:

JMS [Peer C ). Er C EU Us Un NUE Le Les coordonnées du point M correspondant sont

2 fi Cu

2 — » LA = 3, fi(u).

On voit donc que si |u,| > 1 ce point n’existe pas et aucune transformation T n’est définie. Si|u,|<1, ce point z’ est défini et dépend rationnellement des paramètres a, b, c, d, toutes les transformations de G sont définies en ce point. Il faut également remarquer que si { se réduit à la transformation identique 3°, z,, z, ne tendent pas vers z,, LÉTRE

2° L'ensemble des points limites de (") ne forme pas une ligne continue, mais est formée par exemple des points du cercle|x,| = 1 appartenant à un certain ensemble parfait À qui n’est dense dans aucun intervalle; ni les y(x) ni les transformations T n’admettent de coupures essentielles ; elles admettent seulement des multiplicités de points singuliers essentiels. La multiplicité y, = ®, y; = ® constitue

encore À, ; en un point de A, on ne peut définir aucune transformation de G si 4, appartient à À ; au contraire, elles sont toutes définies six, n'appartient pas à A.

6. Singularité des transformations de G. — En dehors de ses singularités essentielles que nous venons d'étudier, une transformation T sera singulière lorsque (x), tou f (y) sera singulier. £ étant homographique n'admet pas de singularités, f (x) n'admet d’autres singularités que les pôlesde f,(x) et f-'(y) ne sera singulier que D(»)

Dr, Los 3)

lorsque Je déterminant-fonctionnel s’annule ; or

Nous n’aurons donc à examiner que les pôles de j, et les zéros de f. fi(&) S’annule soit en un point double d’une substitution elliptique

Ni SO R de (’), soiten un point où = —0o 5 O Ye ; 7. Étude d’un point double d’une substitution elliptique de (y). — Soit x, un tel point; posons f(x) = 0, g(x!)— y}, x = 2 +, et soit f,(x,) — 37 + ..., p désignant un entier, on a

ER | J Vi T3 — P : [ri xx] Ê +,

Va = P(Li— Lits) [ar].

Verrerie

Lorsque z tend vers zéro, y, tend vers zéro, y, vers y”, y, vers l'infini et y, vero zéro. Faisons tendre maintenant y, vers zéro et y, vers y,, z tend vers zéro, y, vers l'infini et y, vers zéro, à moins que x, — x, x, ne tende vers zéro ou l'infini. Si x, - x, «x, tend verszéro, le point y correspondanttend vers un point de À, six, — x, x, tend vers l'infini, y tend vers un point de A;. Soient y°, y? deux quantités arbitraires, 1l n'existe donc pas de point x,, x,, , hors de A et À, tels que

SU EE Va — Yo) Y3— 9; oe

à moins que l’on ait y} = >, y, — 0.

THÉORIE ANALYTIQUE DES GROUPES CONTINUS FINIS. 73 Résolvons les formules par rapport àx,, x,, æ,:

Li Xi + VE He,

pi pe du

F0) D ie

1 ù F var] A dues

DL) Lri+ Ê

Lorsque y, tend vers zéro, x, et x, tendent vers l'infini, à moins

que y, ne tende vers zéro et y, vers l'infini. Nous arrivons à la conclusion suivante :

Le point y,,y,, 0, y, appartient à A, si y} n’est pas infini et si y, n’est pas nul. Par contre, si yŸ= +, y, — o le point considéré est un point singulier rationnel, au sens que nous avons donné à ce mot, et l’on peut prendre, pour transformation 3 — u(y), la transformation

2 Fe 1 eu AY ñ 32 — 1h + ee J2Yh ; Z2 — V1 a Ê

I Te 2p 9 ,

on constate sans peine que À admet y,=— o pour pôle et que

/ 1 — p? 5 | < AE pe V3 4 8. Étude d’un point où Æ —o. — S . lude un point où Deer 0. — oupposons que, pour

VV; 0, F s’annule, et que F soit de la forme F= y; 7;+ayi+...—0.

Soit x, la valeur de x, telle que f,(x,) — 0, g(x,) = 0 et posons

T,= &, + z. Soient Vs 27 az +...,

les développements de y, et y,, on constate sans peine quex = a — 2b; formons les développements des y; :

Li Es L3 | 1 3 near |? > A +...

VTT Ts) (22845 +...) Va ARS UE, Vis +bs +...

et réciproquement PA = 6e ee CT 3 ri HS V291° [z TR SAUT . À ; Û ‘ Li Tets + YiJat ap ere Lorsque z tend vers zéro, y, tend vers l'infini et y, vers zéro; on constate, comme au paragraphe piece que le point Yi ee OLD appartient à A,, sauf si y! =, y, — 0.

Dans ce dernier cas, le point est un point singulier birationnel et l’on peut prendre, pour z — w(y), la transformation suivante : Z, it pr DA S— YaY5 23— Jr; on a de plus

9. Étude d’un pôle de f,(x;). — Soitx®, un tel pôle, La Ly + Y et den ke

y, et y, deviennent infinis pour 3 —o et le point y‘, Ya © ©, Y, appartient à À, si y\ et y, sont finis. La transformation u est ici

III. — Étude directe de G au moyen de ses transformations infinitésimales.

Considérons le groupe G défini par les transformations infinitésimales : ,

Frs, Ye) 10) op SOU of es D er rer f PAPE aie

d Ô Vif LE ACT: HSE + 29 07 PR

et proposons-nous d'étudier ce grou e.

prop dE

Le domaine À a pour équation y, — 0, les seules singularités des Y,f sont les points où une des coordonnées y, y, y, est infinie, les pôles de A et les zéros de F°.. Examinons successivement ces singularités.