Pôles de A — Soit yf, yun pôle de A; en remplaçant y

par Y,—Y;, on peut poser y! —0. Faisons sur A l'hypothèse suivante :

AE Ar Ya"

À, étant un développement de y, holomorphe pour y, = 0 et dont le développement commence par le terme

p désignant un entier positif égal au moins à 2. Faisons le changement de variables :

51 UE P ——1 79 — Yi £ 5 J2YE ; P—i os 33 —Y1+ Ya ps

Exprimons Ÿ,, Y,, Ÿ, au moyen des variables 3 :

d d AS Na 5

d Yf= 2 SE +2 2 Y331—=—(2— 415), EL 2 Dis 2 1 — D? jeses 2

Yoz = 2152 | ï rec —pfa- na Pls+piA- . fast,

213 & A ke 3 Vs ras pttsiat—ostes |A Lu D |:

on en déduit que A—(3,2,— z,)°. On constate sans peine que A Y,, Y, ont leurs coefficients holomorphes lorsque 3, — z,, 3, —%;;

En effet, dans Y,z,, le seul terme susceptible de devenir infini p? . | ù \ provient de p° [A — LE | z,3;', mais comme le développement de À, est de la forme 1— p°?

AE

ICS TEE le développement de ce terme ne contient pas de terme en z, à exposant négatif. -

La même remarque s'applique au terme

de Y,z3, si l’on se rappelle en outre que p est au moins égal à 2; comme p est un entier, À,(z°) est une fonction holomorphe de 3,. Les coefficients des Y;f sont holomorphes en

TRE nn 0e ve m0 Mots 0; Z9— £9) 23 —2%;)

et An’est pas nul; comme nous l’avons montré dans la première partie, à ce point correspond un point m,(x\, x, æ;) et la correspondance entre les x et les z est biuniforme dans le voisinage de m,et M,; en m, les y sont donc des fonctions rationnelles des x. Lorsque le point y,;, Y23 YA décrit un contour fermé entourant la multiplicité y,= o, les x ne reprennent pas les mêmes valeurs, ils subissent donc une substitution 7 de (2), 7 laisse invariante la ali Lioie Last .ell On are Tr. Dans les formules du changement de variables (y, z), faisons 70,20, 242; 0n0btient y; 0, NV: 0,9): +0: le change” de variables précédent ne nous permet He d'étudier G que dans le voisinage du point y, =®, y, — 0, y, = 0. Nous allons montrer que le point (y,, y;, 0) appartient à À,, excepté lorsque y} =, y: = 0. Le système différentiel qui définit une transformation du sous-

groupe Ÿ,/f est en effet

dy, dy: ‘dys di DR ant ET MS Ce A Ni CHR AR

L'intégrale de ce système qui vérifie les conditions initiales

GER Fi= JT Y3= V2; Y3T 0; 10, est PES 2 Pi Ji te ÿ- da T; Ya Y3—= 0, LE=R6; Bas dvs , dt Fre ee car = —— et sont nuls pour y;—0, alors que se réduit à (ya) __ qui n’est pas nul si Hi 0. La dernière équation {= 0

nous montre que parmi les transformations du sous-groupe Y, f seule la transformation identique est définie. Un point pour lequel y? est”

différent de zéro appartient donc à A,.

Supposons donc y{—0o, prenons pour variables y,, y” et

Le po on constate par un raisonnement his qu'aucune transformation de Ÿ, n’est définie, à moins que vie: Si y* n’est pas infini, si y° n’est pas nul, le point y°, y°, o appartient à AS. | : & :

A1. Pôle de À d’une nature chfférente, de la précédente. — Nous supposerons cette fois que

É lp?

AA VS A it

p étant un nombre fractionnaire p — à faisons le même changement

de variables qu’au paragraphe précédent, les coefficients Y;ne sont plus holomorphes, car, p n'étant pas entier, A,(z°) n’est pas une fonction uniforme de z,.

Pour étudier cette singularité, nous étudierons directement les fonctions z des variables x. Ces fonctions sont définies en égalant à des constantes trois intégrales du système aux dérivées partielles

(6) | X;f + Y,f —0o Reg NL RSR Posons Y,f = € -— se NS ce + D’après un résultat classique,

les z et les x sont liés Fa un ae aux différentielles totales que

l’on forme sans peine :

(ti — tits) dz, + Edr23— 0,

(11) (ti— Lots) da + (t331— 2) dai+ (n — 232) dr + (Lao 81) das = 0,

(ti— Lots) dis+ (xs — 23) dti (Ë — 2323) dti+ (ris )dxs; — 0.

Prenons comme variables :

Le système (11) prend la forme

u de + vdu = À du + B dx, + Cdæ:;, dz; = A' du + B' dx; + C'dxs, dz;= A'du:+B'dx,;+ C'axs.

Les coefficients A, B, C, A’, B', C’, A”, B”, C’ sont holomorphes

pour

PSS te D 70 2. — 70 z— 70 === 0, Li— ZL;, LT3— T3) Z9 Z9) Z3— 33,

si x! et z, ne sont pas nuls. De plus, les développements de A, B, C contiennent w en facteur et commencent par des termes du second degrè au moins en 4, ?. | En reprenant la démonstration de Briot et Bouquet relative à l'équation æy'— by = ax +cxy +...,

on établit sans peine que le système précédent admet une intégrale holomorphe vérifiant les conditions initiales précédentes et telle

que . ne tend pas vers zéro en même temps que z. On en déduit que D(#32.123) D'(ristusiæs) Revenons aux variables y et x; les y admettent tous les points (x°, 0, x,) comme points critiques, elles reprennent la même valeur si le point x,, æ,, æ, tourne g fois autour d’un tel point critique.

Il existe une substitution + de (g’) qui laisse la multiplicité x, = o invariante et l’on a +7 — 1. Il existe une substitution T, de (G) qui laisse invariante y, = o et l’on a T?= 1. Nous appellerons « points sin-

n’est pas nul au point considéré.

guliers de première espèce de G » les pôles de A de l'espèce précédente.