Étude de À en un point régulier A—=— y
On vérifie sans peine qu’en un point singulier de première ou deuxième espèce, l'équation À = o équivaut à y, — 0. La multiplicité A a donc pour équation Vs 0
Formons Y,, Y,, Y,, c’est-à-dire faisons y, — o dans les transformations infinitésimales Y : |
. résulte de là que les déterminants du second ordre de À —= || sx |]
s’annulent pour y, — 0. Le groupe G a pour trajectoires les courbes Qi: y: = 0, y, = const. De plus, aucune transformation de G n’est du second ordre en ce point. Notre groupe G vérifie bien les conditions imposées précédemment.
La 16. Etude des singularités des fonctions y. — Ces singularités sont de deux sortes :
a. Les points m,(x°, x, æ°) tels que, lorsque m tend vers m,, le
- point M(y,,Y:, Ys, Ya) correspondant tend vers un point singulier
de G. Nous les avons déjà étudiés. Les y sont des fonctions algébroïdes des x en m,.
6. Les points 77, tels que, lorsque » tend vers m,, M ou M, n’a pas de limite ou tend vers un point de A,. Ce sont des points singuliers essentiels des y. Nous allons montrer que les points singuliers m, sont les points de l’espèce E’ pour lesquels x, appartient à un certain ensemble ; en d’autres termes, ces points engendrent une multiplicité analogue à un cylindre dont les génératrices ont pour équation Ps const, |
Nous avons vu que les équations finies des sous-groupes 1), (Ye) étaient birationnelles :
(Y:) ë y, Yi LA le see V2: Ve = V3) (Y:) We Y e', ie vie”, Vie V3e
Les équations des sous-groupes corrrespondant de g sont :
/ LEE (X:) VE = le D) Lo — Lo) Lay — La li;
/ ki es (a, 14 (X:) EE DNS Le ds Mere
Soit donc m,(x°, x°,x!°) un point pour lequel les y; sont boite morphés, soient y? f;(&,, «°,æ,). Le point m,(%,,%, Da ion x, x sont quelconques est le transformé de m, par une certaine transformation { du sous-groupe (x,), (x,). Comme la transforma-
üon T homologue de z est linéaire, il résulte de JUz)=TF(x)
que les y; sont holomorphes en m,.
De même si », est un point singulier essentiel, il en est de même de m,. C0: FD:
Nous allons utiliser le résultat précédent pour démontrer up théorème annoncé (1° partie, Chap. IV, S 14). ;
17. Tnéorëme. — Étant donnée une transformation distinguéeT, de G et une transformation non distinguée T de ce méme groupe, il'existe un contour fermé T, tel que lorsque M décrit T, le point M'=— TM subit la substitution T,.
Aïnsi que nous l’avons vu, il existe un contour fermé c de l’espace E’ tel que lorsque m décrit c, le point homologue M subit la transformation T,. Soit c, la projection de € sur le plan x!, x’ ; tout contour c’ qui se projette sur ce plan suivant c, possède la même propriété que c. Soient m, et m, deux points appartenant respectivement à c et à c’et ayant même coordonnée x,, soit d le segment de droite m,m,. Le contour fermé m,cm, dm; c'm" dm, tracé sur le cylindre € de base c, de génératrices x, — const., peut se réduire à un point par une déformation continue sans quitter © et sans rencontrer de point singulier des fonctions y = f(x); lorsque m décrit ce contour, M revient donc à sa valeur initiale; comme d'autre part M subit une substitution linéaire lorsque »# décrit d, M subit la même substitution T, lorsque m décrit cet c’.
Soient { la transformation de g homologue de T, y le contour transformé de c' par {-'. Supposons un instant que y n’entoure aucun point singulier des fonctions y — f(x), le contour homologue T est fermé et lorsque 7n décrit y, M décrit l, m»' décrit c’ et M'— TM subit la substitution distinguée T..
Le contour y n’entourera aucun point singulier de f s’il en est de même de sa projection y, sur le plan x, x,. Or on peut choisir c'sur e
La de façon que y, soit un contour y, donné à l’avance. Soient, en effet,
(C1) Tac SCO (OT 0 T1) (72) Ti g(0), (o<0 La),
les équations de c, et y, et
en LEE 2 — Cid De CAR Ed : ét; A can celles de {='. Il suffira de prendre pour #,(8) et x,(0) des fonctions vérifiant . | * cæ(6) + (8) Cæ3(0) + d
