I. — Simplification du problème

1. Soient g et G deux groupes continus finis et semblables. Dans l'étude des transformations f définies par l’équation fonctionnelle

(1) fgf7'=G,

nous nous limiterons au cas où la solution f de (1) dépend de constantes arbitraires. D'après S. Lie (Theorie der Transformationsgruppen, t. F, Chap. XIX ), il fautet il suffit pour cela que les groupes get G soient transitifs. Soit g' le groupe continu fini des transformations permutables avec toutes celles de g. Ainsi que nous l’avons démontré dans les préliminaires, le groupe d’une solution de l’équation (1) est un sous-groupe de g’. Le nombre de paramètres dont dépend g’ est maximum lorsque g et G sont simplement transitifs. C'est ce cas que nous cnadérétons désormais.

Supposons donc g et G simplement transitifs et isomorphes; il en résulte qu’ils sont semblables. Précisons la signification de l’équation (1). Soient : s le nombre de paramètres de g, X,, X,, ..., X,, s transformations infinitésimales indépendantes de g et Y,, Y,, ..., Y,. s transformations de G liées par les mêmes relations de structure que les transformations correspondantes de g. L'équation symbolique (1) signifie que la transformation f fait correspondre X; à Y,. Il pourrait arriver que G admette s autres transformations infinitésimales Y', Y,,..., Y' liées par les mêmes relations de structure que NN ne x on ne considérera pas comme solution de Ci 1) une transformation qui fait correspondre les X,; et les Y’.

2. Relation entre les solutions de deux équations fonctionnelles. — Soit g, un groupe semblable à g; considérons les équations analogues à à (1),