TET = 8; (3) TT EN
Soient T, x et +’ des solutions particulières respectives de (1), (2) et (3). De ces équations, on déduit
PA be AT M AO date TE
La transformation f’= 77" f-'1" est donc permutable avec toutes les transformations de g,; f’ est donc une solution de
(4) LEf =:
Réciproquement si f’, 7 et +’ sont des solutions respectives de (4), (2)et(3), f—7f'7" est solution de (1).
L'étude des solutions de (1), où g et: G sont des groupes de structure donnée, est donc ramenée à celle des équations de la forme
” Tate Cr
où £, est un groupe possédant la structure donnée, choisi une fois pour toutes et G un groupe quelconque isomorphe à g..
On peut tirer des considérations précédentes une autre conséquence intéressante : si est une solution particulière de l'équation (1), toute autre solution f’ de cette même équation sera de la forme
De
+ étant une transformation permutable avec toutes les transformations de g. Il suffit donc d'étudier une seule solution de l’équation (1). |
3. Nature des transformations de g. — Nous prendrons pour £ un groupe de transformations birationnelles; les trañscendantes solutions de l’équation (1) admettront pour groupe un sous-groupe de 2”. Comme notre but est de former des transcendantes dont le groupe se compose de transformations birationnelles, il faut chercher dans quel
cas il en est ainsi pour g”.
Taiorème. — La condilion nécessaire et suffisante pour qu'un groupe simplement transitif g el son groupe permutable 9" se composent de transformations birationnèlles est que g dépende brrationnellement de ses paramètres par un choix convenable de
ceux-ct.
1° La condition est suffisante. — Soient en effet &'— V(x, a) les équations de g, æ, un point fixe et x, = Tx, son transformé par T ; on à, quel que soit a, TE (a, a)] = YIT(x), a] = Y (xx a).
* Soit x’ un point quelconque, comme £g est simplement transiuf et dépend birationnellement de ses paramètres à, il existe en général un
système a et un seul tel que x’ = Ÿ(x,, a). Le transformé x” de x’ par
T sera mi Ro (ET Cr ae dre
À ï j ! a \ el AN RES
On obtient l'équation x’ — T4 d'une transformation de g’ en élimi-
nant a entre les équations x"— Ÿ(x,, a), x'= Y(x, a). T est donc birationnelle. La
2° Réciproquement, supposons g et 9’ birationnels. Prenons pour paramètres définissant une transformation T de g les coordonnées du point A transformé d’un point fixe O par T ; soient M un point quelconque, M son transformé par T, je dis que M’ est une fonction birationnelle de À et de M. Soit r une transformation de g, telle que M = 10 (+ existe puisque 2’ est simplement transitif) et soit
M'=1xA, on à
