AU

donc | Mr TO MO PME MS

donc M'=tA, r étant birationnel. La proposition énoncée est démontrée. Nous prendrons désormais pour g nn groupe birationnel dépendant birationnellement de ses paramètres.

II. — Réduction d’un groupe continu de transformations birationnelles.

4. Le théorème de M. Enriques. — Avant d'aborder l'étude de ‘Péquation (1), cherchons les singularités d’un groupe continu de transformations birationnelles. Reprenons la démonstration d’un théorème de M. Enriques (') qui doit nous être utile par la suite et d’après lequel un groupe de transformations birationnelles g à s variables se ramène simplement à un groupe continu de transformations homographiques.

Considérons une famille G de multiplicités algébriques à s — 1 dimen- BIOS CON de AUD ENT AV MErON

(1) Sui gruppi continui di transformasioni cremoniane nel piano (Ait della reale Accademia dei Lincei, 1893, p. 468).

Transformons-les par toutes les transformations de g, nous obtenons une nouvelle famille F qui dépend de paramètres arbitraires: Soit F' le plus petit système linéaire de multiplicité à s — 1 dimensions qui contient F, je dis que F' est invariant par g :

Si cela n’était pas, le système linéaire F” transformé de F' par g contiendrait F et serait différent de K”; le système commun à F’et F” serait linéaire, contiendrait F et serait plus petit que F’’et F”, c’està-dire dépendrait d’un nombre plus petit de paramètres, ce qui est contraire à l'hypothèse. Soit donc

RAA DE AE) RASED Mens ce tu ee (ibid 1e Ab) EE 0

le système F’ invariant par g. Posons

VO OO EC A Ua — 8 (æi, Lo 5 Ts), NES UT TPE IE SAAEAREE RREtTe £ Up Sp(Lis Les es Æs).

Considérons 4,, u,, ..., u, comme les coordonnées homogènes d’un

point de l’espace E, à p — 1 dimensions. Nous obtenons dans l’espaceE,

une multiplicité P à s dimensions dont les coordonnées s'expriment

rationnellement au moyen des paramètres x,, æ,, ..., x,. Le groupe g

définit sur P un groupe de transformations birationnelles qui conserve la famille des sections planes de P d’équation

ui + lola. + pp 0e

Les équations de g sont donc celles d’un ensemble de transformations linéaires homogènes si l’on prend comme variables u,,u,,..., U,. Considérons ces transformations comme appliquées à l’espace E, tout entier; elles forment un groupe sur la multiplicité P, mais comme elles sont linéaires homogènes, et comme $ +1 quelconques des variables U,, Us, ..., U, Sont linéairement indépendantes sur P, les identités entre les coefficients de ces transformations qui expriment qu’elles forment un groupe sur P expriment aussi qu’elles forment un groupe dans tout l’espace E,. Elles constituent donc un groupe continu £, de transformations homographiques de E,, laissant P invariant et se réduisant sur P au groûpe g à condition de prendre comme variables LAURE) Ve 2 Me

En résumé: Étant donné un groupe continu g de transformations.

birationnelles de l'espace E(x,, &,, ..., æ,) il existe un groupe CUS TA 9

continu de transformations homographiques de l'espace —; —, pi StA

1 PL rhone À , conservant une multiplicité ralionnelle P as 4

Re LATE À TR ODRE 24 RTS de NPD)

et se réduisant à g sur P à condition de prendre pour variables x,,

DR Re CO) F

5. Singularités d’un groupe de transformalions birationnelles.. — La correspondance entre les points de l'espace E(x,, #,,...,x,) et de P ainsi définie n’est pas nécessairement biuniforme. Considérons, par exemple, le groupe de l’espace à trois dimensions :

; + OA nr Ce 77 NU De pare RP NGE-E0z ic +dz pra br à

L’équation de la famille F"' sera de la forme

EE CYe 3, ZT, a, CEn DCE An) 0;

F étant un polynome entier, et les w; seront de la forme L 1

les g'; étant des polynomes. On peut supposer que les g;; ne s’annulent pas tous lorsque 3 est nul; si celte circonstance se présentait, on pourrait mettre en facteur commun dans tous les g; une certaine puis-

Y (*) Gette démonstration ne peut pas s'étendre aux groupes continus de trans-

formations birationnelles d’une multiplicité algébrique AC en elle-même, si les transformations cessent d’être birationnelles hors de la inultiplicité A; on ne peut affirmer en effet qu’une famille de multiplicités algébriques tracées sur 9Ù soit contenue dans un système linéaire. On peut, du reste, en utilisant cette remarque, établir que les surfaces hyperelliptiques sont irrégulières.

sance de z et supprimer partout ce hote puisque ceux-cireprésentent des coordonnées homogènes. Quelle que soit la famille initiale G choisie, à la multiplicité à deux dimensions z — o de l’espace x, y, z cn ond sur P la courbe à une dimension u;= £;(y, 0, 0). La correspondance entre P et l’espace x, y, z ne peut donc être biuniforme pour 3 = 0.

Les variables x,, æ,, ..., x, sont des fonctions rationnelles de w,, U, ..., 4, Ces variables représentant les coordonnées homogènes d’un point de P. Les points singuliers pour le groupe £ seront les points d'indétermination des fonctions 4(x) et ceux des fonctions x(u).

6. Application à l'équation (1). — Dans l’étude de l'équation fonctionnelle

(1) LHC,

au lieu de considérer la transformation f comme appliquée au point Lis Lay... &, de l’espace E, nous la considérerons comme appliquée au point correspondant de P. Soit À un point de P, deux cas peuvent se présenter : 1° dans le voisinage de A les coordonnées d’un point de P sont des fonctions de s paramètres x,, x,, ..., x, holomorphes pour Z, —0, æ, = 0, ..., &,— 0, et telles que la correspondance entre les points de P et les points de l’espace &,, æ,, ..., æ, soit biuniforme dans le voisinage de A et de x; — 0. Désignons respectivement par g et fle groupe g et la transformation f exprimés au moyen des x, f vérifie

(15) * : Éecte ie G,

I suffit donc d’étudier lés solutions de (1°) dans le voisinage de L, = 0, Li —0,..., &, — 0, (1°) a la même forme que (1), mais il est facile dè voir que les coefficients des transformations infinitésimales de z sont holomorphes dans le voisinage de x;— 0. En effet, une trans-

formation infinitésimale de g est de la forme

P X f — ne ES Sn A on ce

11 TETk=EA A1 R=A

Or les u; sont des paie holomorphes des x; : il en est donc de même des coefficients de la transformation X exprimée au moyen

des x. a 2° À est un point singulier de P : soient u;— o les coordonnées de ce point et ù

1 OP Te AA nf à SAN A en RE Qt eo +

Ex F0

les équations de P dans le voisinage de ce point ; supposons que les développements de F,,,, F .., F,,,, commencent par des termes de degrér en u,, u,, ..., u, et que le système obtenu en égalant à à Zéro les termes de moindre deste dé E,, F;,...,F,, ne se réduit pas à un système de moins de p — s équations. Les entiers »,, n:,...,n; caractérisent la singularité de P en A. Soit A’ le transformé de À par une transformation quelconque { de g; en prenant en A’ des coordonnées convenables »,, #,, ..., #,, on peut faire en sorte que 4 ait pour équation #;,— u; el, comme / est homographique, ce changement de coordonnées est biuniforme. Les entiers n,, n,,..., n, sont donc les mêmes en À.et A’. | |

Si À est un point $ingulier isolé des points singuliers de même espèce, À est invariant par {.

Si A fait partie d'une ligne L deux points singuliers de même espèce, cette ligne L est invariante par {. Ainsi les points singuliers de P font partie de multiplicités tracées sur P invariantes par g; ces multiplicités seront, dans chaque cas, l’objet d’une étude spéciale.

En résumé : dans l’étude des solutions f de l’équation (x), on peut toujours supposer que dans le voisinage de tout point de P qui ne fait partie d'aucune multiplicité de P invariante par g, les coefficients des transformations infinitésimales de g sont des fonctions holomorphes des

e paramètres qui fixent la position d’un point de P, quitte à multiplier

ni+1? niH20°

ensuite f par une transformation x — U(x) dans laquelle les x se comportent comme des fonctions rationnelles des x.

Nous avons supposé implicitement que le point considéré de P était à distance finie; dans le cas contraire, on le ramène à distance finie par une HO S AU hIe,