III. — Étude d’une solution de l'équation

7. Énoncé des hypothèses. — Faisons sur les groupes g et G les hypothèses suivantes :

JL. g est un groupe continu de transformations birationnelles de’ l’espace E(x,, æ,, ..., x,), défini par s transformations infinitésimales

indépendantes

des à 119 :

XS=Y En SE CE nn

LaE |

g dépend birationnellement de ses paramètres par un choix convenable de ceux-ci. Soit à le déterminant des coefficients £;;, à n’est pas identiquement nul. Enfin les X; sont liés par les relations de structure

(X;, Xx) <>. CHEN

et les c;,, sont tels que le groupe g n'admet pas de transformation infinitésimale distinguée.

Définition. — Nous appellerons transformation distinguée d’un groupe une transformation finie permutable avec toutes les transformations de ce groupe. Nous supposerons que g ne contient pas de transformation distinguée autre que la transformation identique.

IT. Soient

Ô k Vf=Y (Ve PAP NRA ON

Rd

s transformations infinitésimales dont les coefficients »,; sont des fonctions rationnelles des variables y,, y, ..., ÿs,, liées par la relation algébrique

(5) à FU: LA Ner) eo

Cette relation (5) définit dans l’espace à s +71 dimensions nne multiplicité algébrique 9x.

je 16 x HENRI MINEUR.

Les relations NE 0 (sion AN ete) .et

(Ye = CR Y (£, RE, 2, s)

sont des conséquences de la relation (5).

IL en résulte que les YŸ définissent un groupe continu G formé de transformations de la variété % en elle-même.

n'est pas nul, nous

Soit M, un point dem ; si en ce point dYs41

prendrons comme coordonnées d’un point M voisin de M, ses s premières coordonnées ÿ,, ÿ2. ..., ÿ,3 la relation (5) définit y,., sans ambiguïté dans le voisinage de M,.

Vida AP PU Do K=1 Ü , ah “ Des \ Of :

on vérifie sans peine que S Ses Se (Y;, Yx) =>, CikhY re { h=1A

Ces relations s’écrivent, en effet :

S EC AIS S N = 00 Re im PRINT GE D LE Gr Te de — ÿ Cixh M him meta Je = ; KA

On AS Onrm Onxm Ys+1 dy dy: OVsr1 Yi

et la relation à vérifier devient

Qi 0 Véya On km OVir ni DE pue 7 er > p Sa (ne 0: dysai Ni dy dre Cikh him —= À

D’après la relation Y, F — 0, on a

et, en tenant compte de (5) les relations considérées se réduisent aux, conditions

ÿ | CMS) mo CRAN:

qui sont vérifiées par hypothèse. Les Y; définissent donc dans le voisinage de M, un groupe continu G sur la multiplicité 3.

Si en M, tous les oi on nuls, on exprime les coordonnées d’un points M de 2x voisin de M, au moyen de s paramètres p,, p,, .:., 0,

et l’on fait le même raisonnement que précédemment. Pour abréger

l'écriture, nous supposerons que ( ) n’est pas nul.

0y Si en un point M, les 4, ont des fonctions holomorphes de Vas, Vs, et si le déterminant A —{|n,;| n’est pas nul, nous dirons que M, est un point régulier. Si les 1:; sont holomorphes et si A est nul, nous dirons que M, appartient à la muluplicité À. Si les NX ne sont pas holomorphes, nous dirons que M, est un point singulier.

IT. Enfin, nous ferons sur les Ÿ, l'hypothèse suivante : en certains points irréguliers M, (y; ) il existe une transformation algébrique :

MU (eue ee 02) (£—1,2, ...,5)

telle que y; = u; (0, 0, ..., o)et telle quesi l’on exprime les Y, au moyen des variables 3 :

S of Y,f— > nul ras 3k REA Les coefficients »,, des Ÿ sont des fonctions holomorphes des z dans le voisinage des} 10 3.70, 2\02; 0: en vu tel point M, nous désignerons par A le déterminant ||n;||.

M, appartient à A.

s’il estnul nous dirons que

Les raisonnements que nous ferons s'appliquent du reste au cas

plus général où les y, sont des fonctions algébriques des z; et des ef. Pour abrèger le langage, nous nous bornerons au cas où la transformation y = u(z) est algébrique. Si, en outre, les fonctions u(z) sont rationnelles, M, sera dit point singulier ton ul : si elles sont birationnelles, M, sera dit point singulier birationnel.

Si en un point irrégulier, il n’est pas possible de trouver une transformation y = w(z) vérifiant les conditions précédentes, nous dirons que ce point appartient à la multiplicité À,.

Remarquons, pour terminer, que la vérification de ces hypothèses .n’exige que des opérations rationnelles.

\ 8. Définition d’une solution dans le voisinage d’un point. —

Soit M, (74,75, ..., y?,,) un point régulier de % n’appartenant pas àAet m,(x°,...,x°) un point de E n’appartenant pas à à. D’après la théorie de Lie on obtient une solution y = f(x) de l’équation (1) fef-'—G en égalant à zéro s intégrales indépendantes du système

Ce système admet une solution et une seule ®,(x, y) holomorphe dans le voisinage des points m, et M, et se réduisant à y, — y} poùr Hi TE T2, 08) Lesystème

(I) P;(x, y) = 0 (REA, 0, das) Frise re VE

LE | définit pour is, cn cdes fonctions =4/ (mi, 2,1 a) holomorphes dàäns un domaine d, entourant m,. Il définit de même ‘pour æ,, Æ»,, :.., æ, des fonctions d’un point de 3 :

Li f (ar Vas «+2 Vs)

holomorphes dans un domaine D, de %t entourant M,. Exprimons les équations de G dans le voisinage de M, au moyen de ses paramètres canoniques &@,, @s, ..., @s:

Vh=diCy, à) ou VET.YT.

Pour obtenir les Ÿ; on forme l'intégrale du système

dv!

de Duo CHA ES)

vérifiant les conditions initiales Loi y) y; celte antérrale Yi = V0; a)ne dépend-.que de 2, = ;t, a, = À .s, 4, = Xt

si l’on y considère les y comme das variables, elle définit les

transformations de G. |

Soit D, le domaine homothétique de D, par rapport à M, dans le

rapport 23 les Ÿ; sont holomorphes lorsque y est dans D’

, et lorsque

[ae (1=1, 2, ..., s). Nous appellerons transformation injiniment pelite de G dans D, ‘ou pour abréger en M, une transformation T, correspondant à des valeurs des paramètres a vérifiant ces IRPBAILES.

Soient de même x, = 9,(x; a) les FqUAUOD de g exprimées au moyen des mêmes paramètres canoniques. à n'étant pas nul en m,, à une transformation infiniment petite de g correspond un seul système de valeurs des paramètres canoniques at de même pour G. Faisons correspondre entre elles les transformations de g et de G définies par les mêmes valeurs des paramètres canoniques. Il résulte de ce que nous venons de dire que la correspondance entre les transformations infiniment petites de g et G est biunivoque. Il est nécessaire de remarquer que o dépend du point M, considéré; la transformation f”* est définie dans le domaine D; nous allons étudier maintenant son prolongement analytique sur la multiplicité 3 tout entière.

Nous poserons dorénavant ML ltr, VRNR CYR;

nous désignerons par E’ l’espace à 2s dimensions x, Lis HT Re x’, æ!,et par AC la'multiplicité à 2s dimensions y, y, nu

les y étant liés par la relation (5).

9. Étude du prolongement analytique de. fr". le ‘long'.d'ün chemin ne rencontrant pas Aou À,.— Soit C un chemin partant deM, tracé sur AV ; cherchons le prolongement analytique de x,, &,;, ..., x,

lorsque M suit C. Soit M, (y, y{, ..., y) un point de D} situé sur C; appliquons à M, toutes les transformations de (x infiniment petites en M, ; nous obtenons ainsi un domaine D,. Recommençons cette opération en remplaçant M, par un point M, de D, situé sur C et ainsi de suite; nous obtiendrons au bout de nr opérations un domaine D, ; D;, D,, …., D, forment un domaine tubulaire entourant

un arc de C.

Taéorime. — Si C n’a aucun point commun avec les multipliciiés AelA,,un point arbitrairement donné de C finira par se trouver dans le domaine D, pourvu que n soit suffisamment grand.

Supposons d’abord que M soit à distance finie ainsi que la portion M,M de C et que C ne passe par aucun point singulier de G. À tout point M (y) de C correspond un nombre positif 2 (M) tel que les inégalités |a;|<<2(M) définissent les transformations de G infiniment petites en M. L'ensemble des valeurs b(M) correspondant à tous les points de C a un minimum po, non nul, sans quoi en un certain point M de C, p(M) serait nul. Imaginons que dans la construction des domaines successifs, D, D,, ..., D, nous ne : considérions comme infiniment petites que les transformations pour lesquelles |a;| <p,; nous aurons une autre succession de domaines

Dep Up D, sera intérieur à D, D, sera intérieur à DDret ainsi de suite; si donc un point de C se trouve dans un domaine D, il sera à@ fortiori dans un domaine D,. Grâce à cette nouvelle convention, si une transformation T, de G est infiniment petite en un point de C, elle l’est également en tout point de C ainsi que la transformation inverse T° qui correspond aux valeurs — a,, — d,,..., — à, des paramètres canoniques.

Soit donc M un point de C; si quelque grand que soit n, D, ne contenait pas M, il ÿ aurait un point P sur l'arc M,M possédant la même propriété, et tel que, quel que soit le point P’ choisi sur l'arc: M°P: D, finirait par contenir P’ pour x assez grand. En ce point P, A n'est pas nul; en appliquant à P une transformation infiniment petite convenablement choisie de G, nous aurions pour

transformé de P un point P' de l’are M, et P étant contenu dans D,

serait certainement dans D), ,,.

Supposons maintenant que M soit à l'infini, il suffit de faire une transformation birationnelle convenable + ramenant l'are M,M à distance finie, en appliquant la démonstration précédente à l'arc transformé de M,M et au groupe 5G 7", on démontre la proposition énoncée. |

Admettons maintenant que C passe par un point singulier M, soit D un petit domaine entourant ce point, nous remplacerons

dans Dh es... y'par-les: variables 22; …., 3 définies au paragraphe 7 dans l’espace 3,,3,,..., 3°, 3°, C a pour homologue une courbe C’ passant par le point O(z;=o,1=1,2,...,s). Les

coefficients des transformations infinitésimales-de G exprimées au moyen des variables z sont holomorphes en ce point et leur déterminant n'est pas nul, on peut donc appliquer à une portion de C' comprenant le point O le raisonnement précédent.

Tuéorème. — Les x; sont des fonctions birationnelles des y; dans le domaine D, si D, ne contient pas de point singulier de G.

Nous dirons que des fonctions sont birationnelles, ou se comportent comme des fonctions birationnelles dans un domaine lorsque, en effectuant sur ces fonctions une transformation birationnelle convenable, on obtient des fonctions holomorphes en tout point du domaine considéré. Les seules singularités de ces fonctions sont des pôles ou des points d’indétermination. Lorsque le point

MY Ji -: > Jst Net) décrit la courbe C, le point homologue m(x,, dede, A) IECr dans l'espace E’ une courbe c, soit m,(x%, ..., x°) l’homologue

de M;, d; le domaine homologue de D.

Par hypothèse, C ne rencontre pas de point singulier de G, supposons le théorème démontré pour le domaine D,, et démontrons-le pour D, :

Le point M, est situé à l'intérieur de D,,, il lui correspond donc par la transformation f-' un point déterminé », de d,,. Soient bal <p,i= 1,2, ….,sles inégalités qui définissent les transformations de G infiniment petites le long de C; lorsque les a; varient d’une façon quelconque en vérifiant ces inégalités, le point y = Ÿ{y#=1, a]

transformé de M, , par T, décrit le domaine D,. La transformation æ = f ‘y est donc définie dans D, par l'équation

Poe ON al) = otre, 2)

Or l'équation y = Ÿ(y"=", &) définit les a comme des fonctions -holomorphes des y dans D, et il est facile de voir que o(xt" "), a) est une fonction rationnelle des a; dans le domaine | a;| < p :

Ainsi que nous l’avons vu au paragraphe IT, le groupe g peut être considéré comme un groupe de transformations homographiques

Zanu; + 2h

Us

% ZG;u;+ 6 d’une multiplicité rationnelle P de l’espace w,, u,, ..., u, en ellemême ; les coefficients & et B sont des fonctions de à,, ..., a,

holomorphes dans un domaine |[a;|<R, R étant une constante. Il peut arriver pour certaines valeurs des w; et pour |a;| <R que EG;u,+6 s’annule; dans le voisinage d’un tel point de P, on effectuera sur les 4 un changement de variables tel que cette circonstance ne se présente plus avec les nouvelles variables. En revenant aux variables x, on en déduit que les x; sont des fonctions rationnelles des a pour |a;| <R.

. Comme R est une constante, on peut, ainsi que nous l’avons vu, supposer, sans inconvénient, que o£R. Si en un point M, on est conduit à une valeur », supérieure à R, on la remplace par R et les raisonnements précédents ne sont pas modifiés.

Il résulte de là que les x sont les fonctions rationnelles des y; dans D, et, par un raisonnement analogue, on établit que les y sont des fonctions rationnelles des x dans d,.

10. Définition des transformations finies de G.:= On définit . un groupe en se donnant soit ses équations en termes finis, soit ses transformations infinitésimales. Dans le premier cas, on sait ce que l’on entend par transformation finie du groupe ; dans le second, nous appellerons transformation finie du groupe le produit d’un nombre fini de transformations infiniment petites. |

Soit M un point de D,. Il existe 7 + 1 transformations infiniment

‘petites de G, la première faisant correspondre M, à M,, la seconde M, à M, la (n + r)ime M, à M,,, le produit de ces n + 1 transformations fait correspondre M, à M. Il existe donc une transformation finie T de G holomorphe dans le voisinage de M, qui fait correspondre M, à M ; nous dirons que C est le chemin de définition de T.

Au produit des n +1 transformations infiniment petites de G correspond le produit des 7 + 1 transformations infiniment petites correspondantes de g, ce produit de transformations fait correspondre

Mo À M.

Ainsi, en même temps que nous étendons le prolongement analytique des x,, ..., x,, nous établissons une correspondance entre les

transformations finies de g et G.

11. Étude du cas où D, contient un point singulier de G@. -— Ce cas s'éludie facilement en remplaçant dans D, les variables y par les variables z. Soit D’ le domaine décrit par le point 3,,3,, ..., z, lorsque M décrit D,. On démontre comme précédemment que les x sont des fonctions rationnelles des z dans D’ et les z des fonctions rationnelles des x dans d,. On en déduit que les x sont des fonctions : algébriques des y dans D,. Les y sont des fonctions des x dans d,, algébriques si le point singulier est quelconque, rationnelles si le point singulier est rationnel. Les transformations infiniment petites de G exprimées au moyen des z sont des fonctions holomorphes des variables z et des paramètres, exprimées au moyen des y ce seront des fonctions algébriques des variables et des paramètres. Nous les étudierons par la suite d’une façon précise. |

En résumé : Les x sont des fonctions algébriques du point M de la multiplicité M dans le voisinage de lout point de % non situé sur À.

Désignons par ® le domaine ouvert ou fermé décrit par le point æ, 2, .…, &,,%, lorsque M décrit la multiplicité x/, domaines A et A, exclus ; le point x,,..., x, correspondant à un point M donné de 3 dépend non seulement de ce point, mais aussi du chemin décrit pour aller de M, à M. On a également le résultat suivant :

Les y sont des fonctions algébriques des x dans le voisinage de tout point intérieur à ®.

En particulier, si G n’admet que des points singuliers rationnels, les y sont des fonctions uniformes des x dans le voisinage de tout point de ®; il faut se garder d’en conclure que les y sont des fonctions uniformes des x, car ainsi que nous le montrerons, ® peut for t bien ne pas être simplement connexe.

12. Étude du prolongement analytique de la transformation f dans un domaine de connexion quelconque. — Soit c un contour: fermé quelconque tracé dans @, ne passant par aucun point de à. Sic peut être réduit à un point par une déformation continue sans sortir de ®, les y n’ont à l’intérieur de c que des singularités algébriques connues.

Étudions maintenant le prolongement analytique des y le long de c lorsque ce contour ne peut se réduire à un point sans sortir de @.

THÉORÈME. — St le point M décrit un arc de courbe M, M, ne se fermant pas lorsque m décrit un certain contour fermé c, en d'autres termes, si les y ne reprennent pas la même valeur lorsque les x décrivent c, il existe une transformation distinguée de G qui

fait correspondre M, äaM,.

Soient c un contour fermé tracé dans @, m, un point dec, M,CM, l’arc de courbe tracé sur M” correspondant au parcours m, cm}. Représentons symboliquement par f(m) le système de fonctions Vis. Vars du point m(x,, ..., x,) situé dans le domaine D,. Soit T une transformation infiniment petite de G dans D,, {la transformation correspondante de 2, on a symboliquement k

Po FU) =T(P).

Prolongeons analytiquement les æ le long de C comme nous l'avons fait au paragraphe IV de ce Chapitre. On forme une succession de domaines D,, D,, ..., D,, soient d,, ..., d, les domaines correspondants de l’espace E”. Comme c est fermé, d, contiendra m, pour un valeur convenable de n. Représentons par f"(m) le prolongement analytique de f dans d, lorsque m a décrit le contour fermé c; on peut choisir m, de façon que M, et M; soient deux points réguliers : les deux branches f(m) et f'(m) dont donc holomorphes respecti-

vement dans d, et dans d,. d, et d, contenant tous deux le point m, ont une partie commune d; dans d, d’après la définition de la fonction f,.

(8) JC) =T(P):

Les transformations 4 et T qui figurent dans cette formule sont les mêmes que celles qui figurent dans la formule (7), ce sont des transformations infiniment petites définies comme nous l'avons montré au paragraphe 8. Comme les coefficients des Y f sont des fonctions uniformes, la transformation TM par exemple est une fonction uniforme du point M auquel on l'applique lorsque M décrit C.

Soit Fimo) = for f (Mo) = f, et D'un petit domaine entourant f,; les deux branches-de la fonction f, f(m) et f'(m) sont fonctions l’une de l’autre,