Comme troisième application de la formule

(a) e^-. {X) = U.^ 9 [x] - yn-pf[x).

nous citerons la formation de tous les groupes d'équations qui, d'après un théorème remarquable démontré pour la première fois par M. Maleyx [Nouvelles Annales de Mathématiques^ t. XI et XIII, 1 872 et 1874), séparent les racines de l'équation /(.r) = o.

Ce théorème, appliqué aux équations algébriques» consiste dans la propriété suivante :

S/ les racines de r équation y (a?) =0 séparent les racines de V équation f{x) = o^ les racines de cette dernière équation seront aussi séparées par les racines de U,„«p = o, jointes aux racines de Op-i (a?) = o.

Pour avoir une équation (p{œ)=o dont les racines séparent celles de/{x) = o, il suffit de prendre pour ç (a?) la dérivée /"{x) ; c'est ce que nous supposerons à l'avenir.

Il est aisé de se rendre compte de cette nouvelle propriété de la fonction 0^< {x). Soient en effet a^ b^ c, ..,, l les racines réelles de réquation/(a?) = o rangées par ordre de grandeur.

Substituons-les dans l'identité (a) ; il viendra

&P-1 [a) z=lim^p [à] (f{a),

0,.(6)=rU„__,(6)(pl(6),

par hypothèse f (a) et 9(6) sont de signes contraires; par suite, si Ûm-p(^) et Vm-pW sont de mêmes signes, e^, (a) et 0p i(é) devront être de signes contraires; il y aura donc un nombre impair de racines de l'équation 6^.1 {x) = o entre a et b.

Si, au contraire, Vn-pi^) et U;„p(i) sont de signes contraires, Qp^i (a) et &p^i {b) seront de mêmes signes, et il y aura un nombre impair de racines réelles de Um^pi^) = o entre a et b.

On voit donc que les racines réunies des deux équations©^, {x) =0 et Vm-pi^) = o> l'une de degré />— 1, l'autre de degré/?, séparent les racines de /{x) = o à la manière des racines de la dérivée.

Si les racines de réqualion/(a7) = o sont toutes réelles, il n'y a qu'une racine de l'une ou de l'autre des équations

entre deux racines consécutives de/(a?) = o ; dans ce cas, les racines

des équations

Vm p = o, Qp -, [x)z=o

sont toutes réelles, et, si on les range par ordre de grandeur, il y aura une seule racine de/{x) = o entre deux termes de la suite formée; — 00 et la plus petite de ces quantités, + oo et la plus grande comprennent les autres racines.

Le système des deux équations U,„-,> = o, Qp^^ [x) == o joue donc le

rôle de la dérivée dont le degré est la somme des degrés de ces deux équations.

On comprend toute l'importance de cette propriété, qui permet de substituer à une équation de degré m — i deux équations dont les degrés donnent une somme égale a m — i .

19. La dérivée jouit d'une propriété importante que ne partage pas le système des équations \Jm-p = o, Sp^^ {x) = o, savoir :

Si les racines de la dérivée sont réelles et si, substituées dans le premier membre de la proposée, par ordre de grandeur, elles donnent des résultats de substitution alternativement désignes contraires, toutes les racines de la proposée sont réelles.

L'analogie ne se poursuit pas; si les racines de lj,„^p= o et celles de0p«i(a?) = o sont toutes. réelles, et si, rangées par ordre de grandeur, elles donnent, quand on les substitue dans le premier membre de la proposée, des résultats alternativement de signes contraires, on ne peut pas en conclure que les racines de la proposée sont toutes réelles.

Soient, en effet, a^, «a, ..., «m-p les racines de Vmr-p = o, ^|, ^2» •••• P^, celles de 0^, (x) = o, et supposons ces m— i quantités réelles.

Soient a^, «a+i deux racines consécutives de XJm-p = ^ comprenant entre elles un nombre pair de racines de l'équation 0^^, (x) = o ; on aura

-yn-p[(Xi) f[0Lk) ==0^-. (a*),

0p-i [oLf,) et 0^, («A-H,) sont de mêmes signes, /(a^) et /(aA+,) sont de signes contraires; donc V„^p(aA) et V„p (aA+j) sont de signes contraires; ilyadoncunnombreimpairderacinesderéquationV„p(a7)=o entre «A et aA+,.Si enlreaAetaA+i il y avait un nombre impair de racines de0^, [x) = o,/(aA) et/(aA+i) seraient de mêmes signes, mais 0^.., («a) et 0^, (aA+i) seraient de signes contraires et y„^p{oL,), V„p(«A+i) seraient encore de signes contraires. On a donc cette proposition :

Si toutes les racines de Mm-p =^oet de 0^, (o:) = o sont réelles et inégales, et si, substituées dans / {x) par ordre de grandeur, elles donnent des résultats alternativement de signes contraires, toutes les racines de V„p = o sont réelles et séparent les racines de Mm-p = o. [Nous supposons toujours (p(x) •=/'(a?), n = m — u]

( 'iS )

On en conclut que, si ce, est la plus petite racine de lim-p = o, V«-p (a,) et Y,^p (— 30 ) sont de mêmes signes. On a d'ailleurs

le dénominateur a le signe de V„.p(— oo), qui est celui de (— I )'""''-' A oA^^ Cherchons celui du numérateur.

Si, entre a, et — oo , 6^,(0?) a un nombre pair de racines réelles, ®/»-i(ai) et 6p-4(— ^) auront même signe, qui est celui de (— i)''"* A^'^*^;

par suite, /(a,) aura le signe de ^\^,;.^,^)^^ ou de ^ — f-^^ — ; /(— 00) a le signe de (— i)"*Ao; par suite, /(a<) et/( — 00) seront de signes contraires si -^^ est positif, et, en appelant ^, la plus petite racine de &p^i{(xi) = o, /(aj et /(]3,) seront de mêmes signes; par suite, /( — 00 ) et/(]3|) seront de signes contraires si -^^ > o, et il

y aura une racine de /{x) = o entre — 00 et «< ou entre — oc et p,, sij3,<a,.

On démontrerait de la même manière que si, entre a, et — 00 , Qp^^{x) avait un nombre impair de racines réelles, /(p,) et /( — qo ) seraient

de signes contraires si -^^ > o et de mêmes signes si --^^ était négatif. Si/(]3, ) et/( — 00 ) étaient de mêmes signes, réquation/(j?) = o aurait forcément des racines imaginaires, car il ne peut y avoir deux racines réelles de/{x) = o entre ]S, et — « ; il y aurait une racine réelle de 15^^^= o ou de 0p,(a?) =0 moindre que ^^; il ne peut y avoir trois racines de /{x) = o entre deux racines consécutives des équations U,„-.p=o, ©p./^) = o, car entre ces racines il y aurait une racine de l'une ou l'autre des équations U,„.|,= o, 0^| = o, et, pour une raison analogue, il ne saurait y avoir deux racines de/{x) = o entre la plus grande des racines du groupe U,„|,= o, &p^i{x) = o et + 00. D'ailleurs, la condition que nous venons d'obtenir est une de celles que fournit le théorème de Sturm.

On voit que, parmi le groupe d'équations Um»^ = o, Qp^i{x) = o, qui séparent les racines de /{x) = o, il figure, quel que soit /?, une des fonctions de Sturm.

Les groupes d'équations quî , d'après le théorème de M. Maleyx , fournissent des racines qui séparent les racines de/(j7) = o seront tous donnés par la formule

On peut conclure de ce qui précède :

I® Si toutes les racines de /(a?) = o sont réelles et inégales, les racines de toutes ses fonctions de Sturm seront aussi réelles et inégales.

2^ L'équation /(a?) = o a au moins autant de racines imaginaires que Tune quelconque de ses fonctions de Sturm.

3^ Si l'une des fonctions de Sturm a des racines égales que l'équation proposée n'admet pas, l'équation proposée a nécessairement des racines imaginaires. Nous formerons, en terminant ce sujet, les deux équations du deuxième degré qui séparent les racines de l'équation générale du cinquième degré.

20. L'équation générale du cinquième degré étant mise sous la forme

ax^-hSbx^-^-iocx^-hioc'x^-hSb'x -f- fl' = o,

les équations de Cauchy dont les coefficients figurent dans les deux fonctions Ua et 62» quit égalées a zéro, donnent les quantités qui séparent les racines de la proposée, sont

a^x* -f- ^(ibx^ -f- 6acx^ -h ^ac'x -f- ab' = o,

4flfta?^-h4(56» — ac)j:»-!-6(56c — £ic')a7>4-4(5tc' — a6')a; + 5W — a«' = o,

6ac^4- 6 (5ftc — ac')^»-f- (60 c'— 206c'— 4«*')*'

-I- (4occ'— i5 W— aa')^ -+- locb' — /^ba'=io;

par suite, U2 devient, après la suppression du facteur a^,

46 4(56«— <M?) ax-hSb

6c 6{5bc — a(/) ax'-h5bx-\-ioc

l'équation U2= o peut donc s'écrire

46 4(56«-ac) o

6c 6[5 bc — ac') a

46 4(5i»— ac) a 6c 6[5bc — ac') Sb

4ft 4(56»-ûc) 5b 6c 6(56c?— ac*) loc

TéquatioD 62 = o est d'ailleurs

4(56'- ac)

6(5bc-ac')

6(56c-ac')

4(56'— rtc)

6{56c-ac')

(4occ' i566' aa')

4(56» — ac)

(566'- aa')

6(56c ad)

(ioc6'-46a')

Comme seconde application, nous allons former les deux équations du deuxième degré dont les racines séparent les racines de l'équation du cinquième degré en z, obtenue en faisant dans l'équaiion d;' * — I = o, préalablement débarrassée de la racine x=i, la substitution z = x-\ — • Cette équation est

L'équation U2= o est, après la suppression du facteur i\, commun à tous ses termes ,

et 63= o, après la suppression du facteur isr, devient

Les racines de ces deux équations, rangées par ordre de grandeur, sont

— I — ^ii3 — I — \pj — ï+V^ — I -♦- v/ii3 8 ' 3 ' 3 ' 8 '

res quantités, avec — 2 et + 2, séparent les racines de Téquation du cinquième degré.

Conditions pour que n équations données à une seule variable

aient une racine commune.