A=:U«-.9(XJ-V.../(X

Cela posé, si ^{œ) = o etf{x)= o admettent une racine commune, et que Ton mette à la place deœ, dans le second membre de Tégalité précédente, cette racine commune, le second membre s'évanouira, et, comme cette équation est une identité, A devra être nul. Réciproquement, si A = o, on a identiquement

comme (p{x) ei/{x) sont de degré tw, Vm-* et V;„«, de degré m — i, il y aura au moins un facteur de la forme x — a, commun t^ /{x) et à (p{x)^ et, par suite, les deux équations /{x) = oet(p{x) = o auront au moins une racine commune. On voit donc que A = o est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations proposées aient une racine commune.

Calcul de la racine commune.

5. Supposons que les deux équations/(a?) = o, (p{x)=z o n'admettent qu'une seule racine commune, et proposons-nous de la calculer.

Désignons généralement parA(/?, 9) le déterminant mineur obtenu en supprimant dans A la rangée d'ordre/? et la colonne d'ordre q, et considérons le déterminant

^^2,1 via.ï • • • vTa .111—1

vlfli— 1,1 ijm—igi • • • ^«— i,w— I

obtenu en supprimant dans A la dernière rangée et la dernière colonne; multiplions les éléments de la première colonne par o?"*"*, ceux de la deuxième par a::^"^, ceux de la dernière par o?, et remplaçons les éléments de la dernière colonne de A(/n, m) par les sommes obtenues, en ajoutant par rangées les produits précédents; ces sommes ne seront autre chose que les premiers membres des équations de Cauchy, diminués de leurs derniers termes, c'est-à-dire

/« 9 [x] — 9o/(^) — Gi.m» /l ? i.^) — 9i/(^) — ^2,«» • • ■ ;

le déterminant A(m,7n), par suite de cette opération, sera multiplié

para?, et Ton aura la nouvelle identité

jT A(/n,/n)=r

Gi.i Gi,3 G,., G,,,

Gu«-î /o 9(^) -- 9. /(^) — G,, m G,.m a /, 9 (a;) — 9, /(a:)— G,.«

G«-,.«j /«j 9(^) — 9<^,/(^)— Gw-i.m

Le second membre de celte identité peut se mettre sous la forme d'une somme de trois déterminants, savoir

xA[m, m)

ou bien, d'après la notation adoptée.

jrAfm, m) -h A (m, m — i)

Vl2,ï Cjj,j ... ij2,m—i J\

^«— i.i vïm— i,j ••• llfli'»!.!»— 3,/<n«-t

G|,iB 2 /o

Ga.ï

Gfl,-,,,

'rm— 1,111— «ym— ï

Gi.i

Gi,«,-ï 9o

Ga.i

Gj,«,-, 9,

Gm-i,i

vT/« — \,m~-i Om—i

Gi,«ï " G,, m

Ga.i

Gj,,

ti «— i , «— 1 fli 1 , Bi

vîi.i ij|,a ••• ijï,«— 2 9* G»,i tia.i ••• tiî.in— 3 9'

tlsi—ij ^Jai— 1,1 ••• ijfli— i.m— t 9"*—'

Si donc /(a;) = o et 9(07) = o admettent une racine commune, la fonction a7A(/n, m)-4- A {m, m — i) devra s'annuler quand on substituera à X cette racine commune dans l'identité précédente.

La racine commune sera donc donnée par l'équation du premier

degré

or A(/w, m) H- A(m, /w — . i)— o.

Il convient de faire ici une remarque importante.

L'expression précédente de la racine commune n'est pas la seule qu'on peut obtenir; si, au lieu d'opérer sur le déterminant A(/n, m)» (H)mme nous venons de le faire, nous avions considéré le déterminant ^{{i, m)y en répétant sur ce déterminant les mêmes opérations que sur le premier, nous serions arrivés à l'équation

xH (jLj m) -\- ^{[jL, m — i)

Gi,i Gi,,

Ga,! Gî.a

Vfji— 1,1 il|Jl— I.J

vï}t-».i,i (j)fc^-i,a

vl/ij,«i 2 ^m — I

on voit que la racine commune à 9(0?) = o et à f{oo) = o doit annuler a?A(jx, m) -4- A(]u., m — r); et cela doit avoir lieu quelle que soit la valeur de fJL, depuis /JL = 1 jusqu'à /jl = m.

Les équations

a;A{i,/n) -i-A(i,m — i) nro,

:rA(/n, m) -i- A(/n, m — i) ^^ o,

au nombre de m, admettent donc la même racine.

Calcul des puissances de la racine commune depuis la puissance i

jusqu'à la puissance m — i .

6. On peut calculer de la même manière une puissance quelconque x"*"^* de la racine commune, v étant moindre que m. Considérons, à cet

( tô)

efTct, le déterminant

Ai>,v) =

(il, m

Gl,vH-l

Gt.m

Ghu-m

iTjfc— l,v+|

GjA|,,M

Gn+i,i

Gji.#.i,î

iïfll,! vifli.t . • . tT0|,v —

l'ill.M

Multiplions les éléments delà première colonne par x'^'^ ceux de la deuxième par or*^*, ..., ceux de la colonne d'ordre v — i par ^«-v^i^ ceux de la colonne d'ordre v + 1 par o?'""^""*, .... ceux de la dernière colonne par i , et ajoutons par rangées les éléments modifiés; nous reformerons les premiers membres des équations de Cauchy, moins les termes Gi^v^"^» Ga.v^""^, ...» Gm.s^xf*^^'^ remplaçant dans à{ii,v) les éléments de la dernière colonne par les sommes obtenues, et simplifiant comme précédemment, on arrivera à l'équation

dans celte équation» U^L^ et Vl^i, sont des polynômes de degré m — i en X, dont il est aisé de voir la loi de formation.

Si/(a?)=o et (p{x) = o ont une racine commune, on voit que l'équation

A(fx, >) 4- (— I j"^"-' A ( /Jt, m ) ^r"— = o

donne la puissance m — v de la racine commune.

Cette formule nous donne m expressions de la puissance m — v de la racine commune; il suffit d'y faire jm = i, 2, . . . , m pour les obtenir.

Une fonction rationnelle quelconque d'une racine d'une équation /{x) = o étant une fonction entière de degré {m — i) de cette racine, on voit que cette fonction se réduit à une fonction linéaire des quantités A(/x, w), A(jtji,m — i), A(|jL,m— 2), ..., A(/x, i).

Dans le cas de /x = m, les fonctions UlSii et Y^^U ne sont plus que de degré m — 2. Nous allons tirer des formules obtenues cette conséquence importante :

Si a t=: o et si le déterminant mineur de A obtenu en supprimant

dans A la dernière rangée et la dernière colonne, cesuà-dire à {m, m) est aussi nul, tous les déterminants mineurs d'ordre /w — i de ùi sont nuls.

En effet, réquation a:A(/n, m) -h A(fn, m ~i)

vii,i Gi,ï ... G,,(B— a fo

vï/n-i.i ijfli— i,j ... \Jm—\,m—tJm—i

^1,1 G|,2 ... lj|,»|-.2 Çi

vi«— 1,1 ij/n— 1,2 ••• vi<w— 1,(»— «9*"""'

obtenue précédemment, nous montre que, si A(/n, m) = o et A = o, ii faut que l'on ait aussi A(m, m — i) = o; car, si A(/w, /n) = o, le premier membre de l'identité précédente se réduit à A(/n, m — i), et, comme les deux équations /(a?) = o, 9 (a?) = o ont une racine commune, d'après l'hypothèse A = o, le second membre de l'identité précédente s'évanouira quand on mettra à la place de x cette racine commune; il faut donc que /^{m^m-- i) soit aussi nul. Dans ce cas, il existe deux polynômes de degré m — 2 qui, multipliés respectivement par 9(0?) et /(o?), donnent une somme identiquement nulle; c'est, d'après le théorème connu d'Euler, la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations aient deux racines communes. Or l'équation

A(^,v)-t-(-i)— A(^,m):r-^:=U;:i,9(^)--Vj:i/{x)

donne, dans le premier membre, un polynôme du premier degré en a; pour V = m — I ; ce polynôme doit s'annuler lorsqu'on y remplace x par les deux racines communes; par suite, il doit être identiquement nul, et l'on a, quel que soit (jl,

A(fx, m) =0.

L'équation précédente nous montre que l'on a aussi, et quels que soient fx et v,

On voit donc que, si A = o et A (/w, m) = o, les deux équations pro-

posées ont deux racines communes et tous les déterminants mineurs A (/x, v) d'ordre tw — i de A sont nuls.

On peut établir également que, si A(/?2,m) = o et A(m, m— i) = o, tous les déterminants mineurs d'ordre m — i de A sont nuls, et par suite A = o, et les deux équations admettent deux racines communes; car nous avons établi l'identité

;r A (m, m) -h A (m, m — I ) = Um-» 9 (^) — ¥«-5/(0:),

OÙ U,„-.a et V,„2 désignent des polynômes de degré m — 2.

Si A(/w, m) = o et A(m, m— i) = o, d'après le théorème d'Euler (f[x) =0, /(^) = o ont deux racines communes; par suite, A = o et A(fji, v) =0.

On peut donc dire que les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux équations proposées aient deux racines communes sont A = o avec A(z»,m) = o, ou bien A(/n,/w) = o et A(m,m — i) = o.

Si nous nous reportons à l'équation

A==U..(p(a;)-V../(ar),

nous voyons que, dans le cas où les deux équations/(a7) = o, 9(0?) = o ont deux racines communes, les deux polynômes U;„i et Y^^t sont identiquement nuls, car les coefficients de^ô,/,, ...,/„-i, (fo, 9*» ...» fn^i sont des déterminants mineurs d'ordre m — i de A, et, d'après ce qui précède, ces déterminants sont nuls.

L'équation du second degré qui donne les deux racines communes peut être formée aisément; nous ne ferons pas ce calcul, et nous aborderons immédiatement le problème général de la recherche des conditions que doivent remplir les coefficients de deux équations de degré m pour qu'elles aient un nombre p quelconque de racines communes; nous formerons l'équation de degré/? qui donne les p racines communes; Téquation du second degré dont nous venons de parler n'en est évidemment qu'un cas particulier.

Recherche des conditions nécessaires et suffisantes pour que deux équations de degré m aient un nombre quelconque p de racines communes.

7. Considérons à cet effet le déterminant mineur d'ordre m de A