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VTin n4.|,3

\Im^p-^\ ,m—p-\-\

multiplions les éléments de la première colonne de ce déterminant par par j?"*"\ ceux de la deuxième par o?^""', .,., ceux de la dernière par af~^ ; ajoutons par rangées les éléments modifiés ainsi, et substituons aux éléments de la dernière colonne de A^"'^ les sommes obtenues; nous reformerons les premiers membres des équations de Cauchy, moins les termes en af"^^ x^"^, .,.,ic*, et A^"*' sera multiplié par af"* ; on aura donc identiquement

^ip-nxP'-^=

Gj,i Gï,2

Gi.m^p fi 9 (a;)

?• /(^)~ Gi »"»-/»+! xf" ' — ... — G,,«

9 » f{^) ~~ Gi,m^p+i xP-^ — ... — Gî,»,

Si nous appelons généralement AJf~'^ le déterminant

il|,«— ^ tj|,i w ji+yi-hi

Téquation précédente pourra s'écrire

^ip-^) XP-' + a;''-*^ x^* 4- ... 4- Apj*

G|,i Gj,i ... w,m-^p j{

vl«i— ^+1,1 \Jm—p-^i,tit^pJn~-p

Gi,i G,,,

• • • 'Jï,»— /»

fm—p-^

1,1 lJM^p-hi«3 ••• {jHh-p-hi,m—p9'»—p

OU bien

U,„p et Sm-p étant des polynômes de degré m — p en x.

Cela posé, si ç(a?) = o et/(a?) = o ont /> racines communes, ces p racines devront annuler le premier membre, qui n'est que de degré /? — i ; il faudra donc que l'on ait

et réciproquement, si ces conditions sont remplies, le premier membre de Téquation est identiquement nul; on aura donc identiquement

U«__^ 9(4:) — \^-pf{x) = o,

et, d'après le théorème d'Euler,les deux équations/(a;) = o, <p(a?) = o auront au moins/i racines communes, ce qui se voit d'ailleurs immédiatemenL On peut donc énoncer cette proposition :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux équations f[x) = o, (f[x) = o de degré m aient p racines communes sont

les quantités A|f"^* ayant la signification indiquée plus haut. Ces conditions sont au nombre de p.

Formation de Téquation de degré p qui admet les jy racines communes. 8. Pour cela, considérons le déterminant d'ordre m—p

• • • • « ^m^p,in—p

et opérons sur A^^ comme nous l'avons fait sur A^'^*^; le déterminunt A^^ sera multiplié par xP^ et, en désignant généralement par A^^^^ l'ex-

pression

G Gi,ï

Gi,i

^at—ptl ^m—p,^

vTfli— «,ii»— n— I ^JH— »,

JH— p,Jli— ^-4-j*

on aura, comme précédemmeûti

G| I G|,j . . . G|,m— 1^1 J\ ^i,l Gj,i . • • ijt^m—p-^i Jl

^m — pti * • • • • • ^m—p,m — p — \Jm—^

vTi,! ^i,a • • • ^\,m—p^\ 9»

Ga,! Gt,» • • • Gi.ai— 1>— i 9>

ou bien

On voit par cette équation que, si/(a?) == o et ^(a?) = o ont p racines communes, ces p racines doivent annuler le premier membre; par suite,

est l'équation de degré/? qui donne les /? racines communes.

Discussion générale.

9. Supposons satisfaites les conditions qui expriment que les deux équations f[œ) = o et 9(0?) =3*0 admettent p racines communes, et supposons en outre le déterminant d'ordre m — /?, désigné par A^^ nul ; nous allons démontrer que tous les déterminants mineurs d'ordre m — /? de A sont nuls.

Soit A(|x,, JX2» P-s» •••f i^p» Vo V2, ...t Vp) le déterminant mineur d'ordre m^-p obtenu en supprimant dans A les rangées d'ordre f^i» l^2f •••9 i^p et les colonnes d'ordre V|, Vj, ..., Vp. Opérons sur A (]x,, fXa, ..., /Xp, V,, V2, ..., Vp) comme nous avons opéré sur A^*^*^ et sur à^\ c'est-à-dire, multiplions les éléments de la première colonne par 00^"*^ ceux de la deuxième par af^^^f ... (les colonnes de ce

{ai )

déterminant conservant les numéros qu'elles avaient dans A) ; ajoutons par rangées et remplaçons les éléments de la colonne d*ordre v par les sommes obtenues; le déterminant A(fx.,, /x^, ..., ^^, v,, Vs* •••»''^p) sera multiplié par a;^"^, et Ton arrivera» comme précédemment» à une équation de la forme

Ij:*-* A{fx„ iiuy^iy ...» l^p. v„ Vu ...| Vp) ±x«-^ A(;x„ a„ ..., ^p, y,y„ ..., v^) ±j;«-*pA(a,,|[x„ .... yip.ViyVu ...,v^„v) = V(^[x)-^Yf(x)j

U et Y étant des polynômes en x dont le degré en x est au plus m — i ; c'est de cette identité que nous allons nous servir pour faire la discussion complète.