I. Supposons» en effet, que nous fassions dans cette formule

v=m — p, V, =m — /n-i, ..., Vp^x = m — i, Vp = m,

|tx, :=m — />-^i, ...» |Xp-i = m — ly ^p= m ;

^il^if 1^29 •••» f^/i» Vf» V2« •••» Vp) no sera autre chose que le déterminant que nous avons désigné par A^\ puisqu'il résulte de A par la suppression des p dernières rangées et desp dernières colonnes de celui-ci ; de plus» le polynôme qui forme le premier membre de l'identité est de degré /> — i , puisque le coefficient du terme de degré p est nul par hypothèse ; dans ce cas» les polynômes désignés par U et V ne sont que de degré m—p — i; par suite» on peut affirmer» d'après le théorème d'Euler» que les deux équations/(a7) = o» 9 {x) = o onlp ■+- 1 racines communes, le premier membre de l'identité devenant zéro.

II. Laissons actuellement arbitraires les quantités fXi» fi^, .«.»/Xp» et faisons

v = m-^py Vi = /n — pM-i, ..., Vp = m;

l'identité (a) deviendra

jir^A(fXi,|uii, ...fiJLp, m—pH- T, m — /? -h 2, ...,m) ±A'^"* A (ui, jjia, ...» yipf m — p, m — p -h 2, ...,/n)d:. . . ±: A(fz„u„...,^p,'» — p-*-i, m— p-ha»..., m — i,/n— /i) = U,ç(ar) — Vi/(jr).

Le premier membre est de degré /?; il doit s'annuler quand on substitue à 07 les/7 + I racines communes; par suite» il est identiquement nul.

On a donc, en particulier,

A (fjL,,|:ji„ , . .ifXp^m — />-!- I, m — -/? -*- 2, . . ., m) = o,

quels que soient fX|, jul,, ..., /x^.

III. Laissons arbitraires les quantités |X|, |tiL2, ..•> jx^ et v, et faisons

ridentité (a) deviendra

^~*A(fx,,fx„ . . ., /x^, m — p 4- 1, m — /?-4- 2, . .•, m) J^:r''-'A(fji„/ia, ...,/:jl;„v, m — p-f-2, . . .,/ii) zt: jjf-'AduL,, /uiî, . . . , fx^, m — /> -f- 1, V, m — /> -f- 3, . . ., m) ±:. . . ±:A(/x„/xa, . . ., /utp, m — /? 4- 1, . . ., m — 1, v) = UjçIj?)— V,/(jr).

Le coefficient de a;^*"" est nul d'après ce qui précède, et le premier membre, s'annulant pour plus de/? — i valeurs de 07, est identiquement nul, de telle sorte que Ton a

A (fXi, fjtj, . . . , juty,, V, m — p -f- 2, m — p -*■• 3, . . . , m) = o, A(/x„fz„ . ..,/uip, /n— /n-i,v, m— /I-4-3, . . .,m) — o,

A(|Xi, fjii, . . ., /jt^, m — /7-f- 1, m — /> -4-2, . . .,/n — i,v) = o.

IV. Laissons maintenant fJLi, jtx,, ..., fx^, ainsi que v etv^, arbitraires; l'identité (a) prendra la forme

Les coefficients de a;^"'', a?^"^' sont identiquement nuls d'après ce qui précède; par suite,

A(fx„^„ . ..,|:xp, v„v, m — /I-+-3, .. ., /w) = o, A(p„fx„ . . .,|utp,v„m— /> 4- i,v, ...,m) = o,

A(fx„/x„ . .., fx^, v„ m — /14- 1, . ..,m — I, v) = o.

(23) V. Si on laisse fi,, fJi2t •••» i^pt v, v,, Va arbitraires, et si Ton fait

ridentitc (a) prendra la forme

^"•-*A(,a,,|x„ . . .,fx^, Vi, Vj, m — p 4-3, . . . , m) ±:c"-'iA(/jt„/ut„ .. .,fx^, V, Va, m — pH- 3, ...,m) db a;'"-^A(/x„ |uta, . . , fx^, Vi, v, m — p -+- 3, . . . , m)

±xP-^ à[iJLtf fjt,, . . ., (ipy V,, v„ V, m — p-4-4> •••>'») it

zb A(/jt„ ^„ .. ., p^, V., Vî, m — /> -4- 3, . . ., m — i, v) = U« ^(x) — Vi/l^) ;

les coefTicierits de af"^, a?"*""''s oo^^^* sont nuls, donc tous les autres coefficients sont nuls : donc

A(^„ a„ . ..,a^,v„ Vj, V, m— y? -4-4» . . ., /n) = o, A(|:ji,,fz„ . . .,fx^, Vi, v„ m — /? H- 3, V, . .., /w) = o,

A(^„ jxi, . . .,fX;„Vi, Va, m — p-h 3, ..., m — I, v)=:o.

En laissant ensuite jx,, juia» «-m /^/^t V|, v,, v,, v arbitraires, on démontrerait de même que

A(/:z„/Xa, .. ., fX^, Vi, Vi, Va, V, m — /? -4- 5, .. ., /7?) = 0,

et ainsi de suite.

En continuant, on arriverait à faire voir que généralement

quelles que soient les quantités jj.f, jxs, ..., /Xp, V|, Va, ..., v^, c'est-à-dire que tous les déterminants mineurs d'ordre m — /> de A sont nuls.

Cas où les équations ne sont pas de même degré.

10. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les deux équations f(^x) = o, f{x) = o sont toutes deux de degré m; mais les résultats précédents subsistent quand les équations proposées ne sont pas de même degré.

Considérons deux équations, Tune /{x) = o de degré m, l'autre

^[x) = o de degré n, et supposons» pour fixer les idées» que n soit moindre que m.

Soit

f{x) = AtX^-h Ai^~'-+-. . .4- A« = o,

? (x) = Bn^^x^-h B«^+, a:"-' -f-. . . -h B« = o.

On démontrerait, comme nous Tavons fait dans le cas de deux équations de même degré» que» si Ton désigne par A le déterminant

m—n-hi

iii — m-i

jR— n4-3

ifl

Gai, 2 G«,s

Gi»-

m — iH-l »«i

OÙ les quantités G,n^„^^^ sont les coefficients des n dernières équations de Cauchy relatives à /(o?) = o et à y(a7)= o» formées à la manière ordinaire; A = o est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations/(a7)=o, 9 (a?) = o aient une racine commune. Désignons par A| le déterminant obtenu en formant les m équations de Cauchy relatives à/(a?) = o, (p{x) = o; les équations étant mises sous la forme

f(x) = At^x^-^ A.ar— • -f- . . . 4- Am-n-xX"^' 4- A««a:" -+-... -4- A„ = o, <f{x)= o,x"-^ o.:r*~'4-. . .-h o.a:"+' ■+■ Bm^nX^-h. . .H-Bfl, = o,

nous allons démontrer que

A, = AAï*-'

Il est aisé de se rendre compte de la manière dont le facteur Aq s'introduit dans A,» car Thypothèse A© = o donne aux équations/(a?) = o» 0(0;) = o» écrites sous la forme indiquée» une racine commune infinie; le facteur Aq ne doit pas figurer dans le premier membre de l'équation qui donne la condition nécessaire et suffisante pour que/(a7)=o» <p{x)= o aient une racine commune» car Thypothèse Ao = o ne donne

pas en réalité aux équalions/(a?) = o, (f{x) = o une racine commune infinie.

Pour démontrer l'égalité en question, savoir

formons le déterminant A| ; considérons, à cet effet, les équations

Aa ( B<„„„ j:" -4- B„^.HH-t ^'•~' H- . . . -4- B„) = o,

( Ao ^ H- A , ) ( B,^ x^ -h B«„^., a:— • -4- . . . -f- B« ) = o ,

( Aaa:»-h A, o: -+- Aa) ( B«.^ -t- hm^+i x^-' + . . . -f- B«) = o,

( Ao^:"-'^' -f- A.a:— — ^-1- ... -4- A»-,^,) (B„^:r"-+- . . . 4- B«) == o,

( Ac a;«-« -f- A, o:--—» +...-f- A«-„) (B»-,^.. ^p^' -4-...-f-B«) — B«^„(A«^^, a:»-' +...+ A«)

[ A. a;^-' -4- A, x^^ -+-...-+- A*-,) B« — ( B«„ar"-» -f- B««n+t a:-» H- . . . + B^, ) A™ = o.

Les n dernières sont celles qui ont été désignées par

,1*'^ H~ vT/II— ii-h!,2«3^"'~' -T- . . . -+- ijj||n^t^m O,

G«,, jc"-» -+- G«,, o:*-* -+-... H- Gm.m = o.

Considérons Tune quelconque des premières, celle qui occupe le rang ^, par exemple,

(Ao^-*4- A,ir»-^-+-. . .4- Ay-,)(B„-,a:"-f- B«.n^, x»-« 4- . . .-+- B«) = o.

Elle peut s'écrire

-♦- Ai Dm~a+i A«l>fl|nH-3

^"^-»-4-...-+-ArB«„

■+• Ar-i-Da-«4.| ■+" Ar— a Hfli— 114.2

et fournit dans le déterminant A, la rangée

0,0, .... o I A,Bm-

«•— JH-I

AiBm-n

ArBm-n

AiBm-^^i

4~ A^^l Bm-R+l

Ao DjM..^.^}

H- Ar-a On— A 4-2

AjB,

... I Aç- I lljn<

Si l'on multiplie la première rangée de A par A^.f , la deuxième par A^2, ..., la 9*^™®par Ao» et si Ton ajoute les éléments modifiés par colonne, on pourra substituer à la q^^^^ rangée la somme ainsi obtenue; le déterminant A est alors multiplié par Ao et laçr»^« rangée de A est devenue, par cette opération, identique à la y*^^ rangée de A,. Si donc on opère ainsi sur la [m — n)*^™« rangée, puis sur la (m — n — i y*"*", .... à chaque opération une ligne de A sera remplacée par une ligne de A,, et chaque opération équivaut à la multiplication de A par Ao- Après avoir fait les m — n opérations analogues, A sera devenu identique à A,; on aura donc

Cela posé, on voit que, si les équations /(a?) = o, 9(0?) = o ne sont pas de même degré, on pourra faire sur le déterminant de Cauchy et sur les déterminants mineurs qui s'en déduisent tous les calculs que nous avons faits dans le cas où les équations sont de même degré. En faisant usage du déterminant A| , qui est symétrique, on n'introduit que le facteur Aq dans les deux membres; les formules précédentes peuvent donc être appliquées encore dans le cas où les équations ne sont pas de même degré.

Si (f{x) = o est de degré n, n étant moindre que m, il suffira de supposer g?o = o, 9< = o, ..., (fm^n-\ =0 dans les formules précédentes; 9,„„ sera le terme B,;,.,, de degré zéro, .... ç?,„p de degré n —p; par suite, l'équation

qui résume toute la théorie précédente, se réduit à une équation dé la forme

^n-^p étant un polynôme de degré n —p.

On voit sur cette équation que

sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux équations de degrés met /i, /(a?) = oet(p(a?) = 0, aient/7 racines communes.

L'équation qui donne \e& p racines communes s'obtient comme précédemment.

Nous désignerons par ©^<(iF) le premier membre de l'identité précédente, et nous allons actuellement étudier les propriétés des fonctions 9.