PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS B

1 1 . La fonction 0^«|{a:) est le reste de la division du polynôme f[x) par le polynôme (p[x) à un facteur indépendant de x près, si o{x) est de degré p etf{x) de degré m, m^p.

En effet, si nous faisons, dans l'identité

0^, (x) == U.,-^ 9 (x) — y„-pf[x),

n = p, \n p ne renfermera plus la variable a? et deviendra le produit du déterminant que nous avons désigné par A^''^ par le coefficient de xP dans <p{x), soitB,„^.

L'équation précédente deviendra donc

Cette égalité montre que le déterminant

tl|,| Ijl.J . . . iî|,jii^ /o

|T tij.i (ja.i . . . 1*2,»— p Jt

lj*i- -/»-f-i,l tj«^+j,i . . . \Jm--p-i-\.m~-pJm^p

qui est une fonction de degré m —penx, est le quotient def{x) par (p{x),'Au facteur B,„.^A^^ près, et que le polynôme de degré p — i 0,,-.,(a?j est le reste de la division de/(a?) par (p{x), au facteur — B;;,^ A^''^ près. Les conditions de divisibilité de/(a?) par9(j?j sont donc

A(/'-) = o, Ar*^ = o, ..., A'p:^.o,

et Ij^^p représente encore le quotient def{x) par ç(ar), si ces conditions sont remplies.

A^^ est nécessairement diff'érent de zéro, dans le cas où n = /?.

12. La fonction Qp^^[x) f-eprésente, à un facteur positif près ^ lafonction deSturm de degré p — i lorsqu'on prend pour (p{x) la dérivée f\x) du premier membre de V équation f[x) = o.

Pour établir cette propriété des fonctions 0, nous allons faire usage (le la proposition suivante :

Si /(a?) et (p{x) sont des polynômes de degrés m et n et premiers entre eux, et si X,«p, X«^, X^<, Y^-^, Y;,-p, Y^< sont des fonctions de 07 dont le degré en x est marqué, pour chaque fonction, par son indice, les deux identités

\m-p 9 (^) — X„-pf[x) = Xp^t ,

y,cp(^)-Y„,/(x) = Y,„.

ne peuvent subsister simultanément, à moins que l'on n*ait, quel que soit x^

Aju — p JIl«i — p A^ — I

* m—p * ih-p ' p — I

Pour démontrer ce théorème, il suffit d'envisager l'identité

[\m-pYp-t — Ym~p \p-i ) 9 (a:) — [X„-p Yp^i — Y«-^ X^,-, )f{x) = o,

qui se déduit des deux égalités données. Le multiplicateur de (p{x) est de degré m — i; il ne peut donc être divisible par/(a?), qui est de degré m; par suite, on a identiquement

A.«r— /> * p — I JL/n— p \p — I ^^ O,

Af|^ M.p — I — M n—p ^p — I ^^^— O,

ce qui donne

A^m~-p An—p A^ — I

Pour de grandes valeurs de x, chacune des fractions se réduit au

rapport des coefficients des termes de degré le plus élevé du numéra-

teur et du dénominateur; comme Tégalité doit subsister pour toutes

les valeurs de x, on voit que les coefficients des termes de plus haut

degré dans les fonctions X sont proportionnels aux coefficients des termes de plus haut degré dans les fonctions Y correspondantes.

On sait que, si l'on désigne par Y et V, une fonction entière et sa dérivée, la fonction de Sturm de degré /> — i* Y;„^, peut se mettre sous la forme

les quantités Qo Q2f •••» Qm-p sont les quotients obtenus dans les divisions successives, et dans chaque parenthèse le produit indiqué fournit les termes de plus haut degré. Si donc q^, q^, *"*qm-p sont les coefficients de 0? dans les binômes QoQa, .•••Qm-p» les termes de plus haut degré en x dans les parenthèses sont respectivement

on a donc

V«H-/H-t = V, (j.ç,. . .q^por-P-h. . .) — V (ga?3. . . qm-p x^-^f'^ -^ • . . !•

D'autre part, l'équation générale devient dans ce cas

en faisant

Si donc la fonction de Sturm de degré /> — i , V,„.;,^.|, est désignée par

▼ m—p-i-i ^^ O^m—p'i'i XP~~ -t- Um—p+t ^^ -+-...,

d'après la proposition démontrée précédemment, on aura

dm—p+ t qiq^- » ^qm—p q^qz' • • qm—p

Cette double égalité se réduit a

^«— p+i ^___ qtq** » » qm—p

car ûT, == — .

f 3o ) Calculons le produit q^q^.' qm-p ; les égalités

Om—p — I — - ^m—p (Jm -pn f^m—p-^1 ^^^^ Cltn—p—x Qm~'p—i9

eu -- flj Çj, donnent par multiplication

donc

et, par suite.

«iflfl^

En multipliant membre à membre ces égalités, il vient

^m—p+i [Cti (I7 • • ' 0.m—p ) dt