AC

on voit aisément que A^"*^ doit être pris égal à l'unité, et, comme A© = ^o, on aura

am p+, ( «r, a, Al . . . a^p Y = Ao A^^-' ^ .

Au moyen des relations précédentes, il est aisé d'exprimer la valeur des produits a» a,... rt,„.^ en fonction des quantités A^**^ ; on trouve

Kf. ., /AC/^')A^A'-*-»)...A^'^^>\\.

pour les valeurs paires de l'indice m —p-h i et

a«;^. - AC/- \^ Av/'îA^/'-^..Ai'— ^ ) Â".

pour les valeurs impaires de l'indice m — p •+- i .

(3. ) Les fonctions de Slurm sont donc les polynômes

ou bien

La prenriière de ces forniules convient au cas où m — ^ -f- 1 est pair, et la seconde au cas où m —/>-*- i est impair.

Si donc nous supposons A© positif, ce qui est toujours permis, nous pouvons substituer aux fonctions de Sturm les fonctions 6, qui n'en diflèrent que par un facteur essentiellement positif.

13. On peut simplifier les coefficients des fonctions 6 et substituer aux déterminants qui y figurent des déterminants d'un ordre moindre d'une unité. Les déterminants qui forment les coefficients sont tirés du déterminant de Cauchy relatif aux équations/(a?) = o,f\x) = o; on peut leur substituer des déterminants d'un ordre moindre d'une unité, tirés d'une manière analogue du déterminant de Cauchy relatif aux deux équations ^[cc) = o, f\x) = o, ^{x) étant la dérivée par

rapport à y du polynôme y"/(- ) ? rendu homogène par rapport à x

et à j^, et quand on y fait j^ = i. Cela résulte d'une proposition générale ainsi conçue :

Si (f[x) et^[x) désignent des polynômes de degré m — i,

cp(x) = Ao^tr*-'-!- XiX'^^-h. . .H- A»,,

* le déterminant d'ordre m de Cauchy y relatif aux deux équations

est égal au déterminant d'ordre [m — i) relatif aux deux équations multiplié par AJ.

Les équations de Cauchy relatives au système a?y(a?) -t- tj^(a?) = o, ç;(a?) = o sont, en effet,

(i...^:"-' -^G,,,J7»-» -4-...H-G,,. = At(p(j7) = o,

G,.,x'"-'H-G,,2ar— '-^...H-Gî.«.=(B. +A,)(p(x) — A,iKx) = o,

(i3...r"--' -4-G8,,;r-^' 4-...-fG,.« r=(B.ar-f- B.-F A,)<p(a:) -- (A,a:-4- A,)4^(x) = o,

Les équations de Cauchy relatives au système ^^{x) = o, ç(rr) = o sont

Hl^"-^

Hj.iJ:"-* •^H,.,:r^' M- . . . -t- H,.«-, =(B,a:-i- B,)<p(^) — (A.a:4- A,)vJ;{a?) = 0,

H«-, ,. j:"-'-h H«,,, j;--»4- . . . 4- H«.,,«-,= (B.ar--'-^ . . . 4- B«^,) 9 (a:) — ( A.^^

De la comparaison de ces deux systèmes on tire les relations

Gj,, Al A» — 0,

Gj,, -—Aï A» =0,

G4,i AaA, o.

Hi,i — Gt,a Al Al,

Hj,i — Gt,2 — AjAi,

Hs,i — Gf.î — A3A1,

Hi,î — Gî,8 — At A|,

H»,j — Ga,» — As Aa,

Hj,i — G4,s AaAj,

H|,3 = G»,4 — Al A3,

"«,3 Gj,! A3 As,

"8,8 = G4,4 Aj A3,

Or, si Ton désigne par A le déterminant

Ao At

G.., Gj,»

Gs,3

AeAm»i ^Jm,7 ^m.i

Gj,»

Gm,m

(33 ) on peut mettre Al en facteur dans à, ce qui donne

• • Aj|||

Gj,» .

Gi,«

• • Gs,m

A.,-1 Gfl,,t Gm.i

XAI.

Multipliant les éléments de la première colonne par A,, et retranchant ces éléments ainsi modifiés de la deuxième colonne, il viendra

Aï

Gj,» . .

Gs.j . .

Gm.m

• • • Am—i

Hi,i

• • • Vll,«

urt,ai

xAi

Am i Îïm—Xti ^m,2 • • • ijm,t

xa;

si l'on multiplie les éléments de la première colonne par Aj, et si l'on retranche les produits obtenus de la troisième colonne, il viendra

Gj.«

Gi.fl,

Hbi|,S Gm,4

xa:,

et ainsi de suite; en continuant, on voit qu'on peut substituer à la

colonne G,, v+i, G,,v+,, ..., G„,v+i la colonne o, H,, y, H,,v. •••» H„,v; on

aura donc

Hi,j

. . • llt,m— t

*li,i Hi • • • tl|,jii— i

XAî

Ha,i Hj,:

Hm— t,i Um— 1,3

• • Us^AK-.!

• • tlj|||,«|-i.t

xa;.

c'est la relation qu'il s'agissait d'établir.

Il est essentiel de remarquer que la démonstration précédente s'applique de point en point à un déterminant miueur quelconque de A, par exemple au déterminant

VTm— 0+i,i il m— 0-4-1, a • • • vlj«— iH-i,»— P Vlm— «+i,«i— .,

.p+t,nt—p

qui est le coefficient de af'^^* dans la fonction ep.,(a?); par conséquent»

Il 1,1 xli,a . • • ll|,»i»ï llj,j

Hm-p^i h

,m—p-^fL

Mlm^p^m—p—i Om^p.m—^

xa;,

en prenant pour ^{x) la fonction définie plus haut.

Remarquons encore que les coefficients A|f ^' de la fonction de degré p — i de Sturm sont des fonctions linéaires des quantités

Hi,»B-,.pi, Hj,

"-/H*Jt>

... y Èïm-^p^m—,

et que les coefOicients des quantités H,,;„.p+|i., ..., H;„-p,m-/M.|jL sont les mêmes pour la même fonction 6^4 (o?); ccsont des déterminants mineurs d'ordre (m — /> + |x — i).

Nous supposerons donc désormais qu'on ait substitué aux exprès-

sions obtenues primitivement pour les coefficients Ajf ""*^ les déterminants mineurs d'ordre m —p^ fonctions des éléments H^,,

14. Nous allons maintenant développer quelques conséquences de ce qui précède.

I. La fonction 8^, {x) étant à un facteur positif près la fonction de Sturm de degré p — if le nombre des racines réelles de l'équation

f(^x) = o comprises entre a et b sera la différence entre le nombre de variations présentées par les deux suites

où Qm et 0;,,-., sont, pour plus de symétrie, les fonctions /(a?) et/'{x),

II. Pour avoir le nombre des racines réelles de réquation/(ii?) = o, il suffit de former les deux suites

A, A(«^(-i), Ac»)(-i)>, ..., à(P'^)(^i)p-\ ..., A(— »)(-,)-.-., A, AC), AC^ ..., AC/»-)», ..., A(*-),

et de compter le nombre de variations perdues en passant de la première à la seconde; ce nombre représente le nombre de racines réelles de l'équation.

III. Pour trouver les conditions de réalité de toutes le3 racines d'une équation, il suffit d'exprimer que les coefficients de la plus haute puissance de x dans les fonctions 6 sont de mêmes signes, et, dans l'hypothèse de Ao > o, il suffit d'écrire qu'ils sont positifs. On arrive donc a cette règle simple :

Pour qu'une équation f{x) =o de degré m ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que le déterminant A d'ordre {m—'i)de Cauchy relatif aux deux équations ^[x) =-• o, /'(a?) = o, ^{x) étant la dérivée

par rapport à y de y^f i—\ ety= i, ainsi que les déterminants mineurs

de A, qu^on obtient en supprimant dans A la dernière rangée et la dernière colonne, puis les deux dernières rangées et les deux dernières co--

lonnes, etc. , enfin les m -- 2 dernières rangées et les m — 2 dernières

colonnes, soient tous positifs s le coefficient deaf^ dansf[œ) étant supposé positif

Appliquons ce résultat à quelques exemples.

Considérons Téquation du troisième degré

ax^-V- 36j?'4- 36'ar -+-«' = 0.

D'après la règle précédente, il faut former le déterminant de Cauchy relatif aux deux équations

Ce déterminant est

2(6» — aé') bV'-aa' bb'—aa' ' 2(6'»-- a'6)

par suite, les conditions de réalité de toutes les racines de Téquation du troisième degré proposée sont

b^^ab':>o, 4(6i-a6')(ft"-.a'6)-(W-aa')'>o.

On sait que la première rentre dans la seconde : on a donc la condition unique

4 (fc: - aV ) [b'^ - a'b) - [bb' - aa' )' > o.

Considérons en second lieu Téquation générale du quatrième degré

ax* -h /^hx* -^ ôcx*-^ Jl^b'x -h a'=o.

Formons le déterminant de Cauchy relatif aux deux équations

bx* -h 3cx' -f- 3Vx 4- a' = o, ax* -h 3bx^ H- 3 car 4- 6' = o.

Ce déterminant est

3(A»-ac) 3(6c— a6') 66' — aa'

3[bc — ab')

66' - aa' — aa' 3(6'c-a'6)

3(6'»— fl'c)

(37) on obtient, par suite, les conditions

3(6»- ac) 3(6c-a6') 66' - aa'

6' — ac'^o

ac) 3 (6c — a6' )

fl6') 9(c»—66')H-66'-aa

3[bc'-ab') bb'-aa'

^[c^^bV)-^bb'-aa! Z[Vc-a!b) 3(6'c?-a'6) 3(6'» -a'c)

avec la restriction a > o.

On peut donner à ces conditions une autre forme. Si Ton désigne par 1 et J les invariants de la fonction du quatrième degré qui forme le premier membre de Téquation

I=:aa'-466'-+-3c%

J = aca' 4- 2 6c6' — a6'» — a'b^ — c*,

les conditions précédentes deviennent

6»— ac>o, a(6»— ac)l4- 3aJ>o, I»—a7J*>o,

et Ton voit aisément que, si V — 27 P > o, il y a zéro ou quatre racines réelles; il n'y a pas de racines réelles si Tune des deux premières inégalités n'est pas satisfaite ou si aucune des deux n'est satisfaite; dans le cas oii I' — 27 J' < o, il y a toujours deux racines imaginaires et deux réelles.

Nous allons montrer actuellement l'identité de ces résultats avec ceux qu'a donnés M. Hermite, sous une forme différente, et auxquels il est arrivé par la considération des formes quadratiques et leur décomposition en sommes de carrés.

15. La méthode pratique indiquée par M. Hermite, dans le but de trouver le nombre de racines réelles d'une équation f{x) = o comprises entre deux limites /« et /«, se résume dans la règle suivante :

On considère la/onction

f^ {^-r)f{r]f(^)-{t-^)fMf(r) ^

on met V expression de F sous la forme d'un polynôme ordonné suivant les puissances de y et de x ; on remplace ensuite chaque puissance x^ ou y^ par x^, et l'on obtient une fonction homogène qu'on ramènera à une somme de carrés par la méthode connue. Si l'on désigne par [t) le nombre total des carrés affectés de coefficients positifs, le nombre des racines réelles de V équation f^x) = o comprises entre /© ^t t^y t^^ t^, sera égal à M -(/,).

Calculons d'abord la fonction F, et, pour simplifier la notation, appelons 9(0?) la dérivée/' (a?); nous avons

nous pouvons mettre F sous la forme

Nous allons mettre successivement le coefficient de / et le terme indépendant sous forme d'un polynôme entier; on a

=/w [îi^^] - . w mEm

les quantités 90» ?i» •••> ?m-2t/o»/i» -"ffm-t ont dans ces formules la signification indiquée plus haut; ce sont des polynômes en x dont le degré est marqué par l'indice. L'équation précédente devient, en introduisant ces fonctions,

OU bien

?(r)/(^) - y(^)/(r) ^ .^ cp(x)/>r^'-h[/W(p.-y(^)/.]r-^+, .-*-L/-W ?-.-«- y W/-.1-

Oa reconnaît dans les coefficients de /"~*,y^'*, ...f v® les premiers membres des équations de Cauchy relatives àf{x) = ode degré m — i et/{x) = o de degré m.

Soient G^jt^v 1^^ coefficients de ces équations, changés de signes; on aura

( -f-(G«.,j:— «4- G«,,a;"-» -+-...-♦- G„,«)jr*.

Calculons de même le terme indépendant de t :

d'où OU bien

et, par suite, la fonction homogène du second degré sera

F==: — [(G,,,/ -hH,,,)a:«, -f-(G,,,/ -+-H,,,)^— j-^'-'+lG,,»/ -h H,,«)^,]ar., — [(Gi,,/-hH,,,)j7;,-, -<-(G,,,/ H-H,,,)^«-a -h...-4-(G,,,/ -f-H,,«)x.]j?«, -+-

--[(G«,,/-hH,,,)j:,,H-(G«.,/-f-H«,a)j7«,-4-...-f-(Gi.,«/-4-H«,«)jr.]a7..

Remarquons que le déterminant des quantités G^^y, est symétrique par rapport a la diagonale principale, ainsi que le déterminant des

quantités E^.^^; par suite, le déterminant des éléments G^i^^v^ + H^^^v est également symétrique par rapport à la diagonale principale; ce déterminant

-(G,..^-hH.,.) -(G.,,/ -4- H.,,) ... -(G.,./ 4-H,,.1 -(G,../+H,,.) ~(Gm/+H,.,) ... ~{G,.«r-f-H,.«)

n'est autre chose que Tinvariant de la fonction homogène F de m variables et du deuxième degré après y avoir fait x =y^ selon la règle indiquée.

Or, si Ton désigne généralement par à^{t) le déterminant qu'on O'btient en supprimant dans A(r) les jx dernières rangées et les /x dernières colonnes, on sait que la fonction F, ramenée à une somme de carrés, aura une expression de la forme

et le symbole (/) sera le nombre des quantités f'^ ^ qui sont posi-

tives.

La fonction (— i)"*A(/) est un polynôme entier de degré m en /; le coefficient de la plus haute puissance de / est précisément le déterminant de Cauchy relatif à/(a?) et à/'(;r) : c'est donc la fonction que nous avons désignée par A; et, d'une manière générale, le coefficient de la plus haute puissance de t dans le déterminant ( — i)'""**Apt(/) est le déterminant mineur A^^^^ qui figure comme coefficient de la plus haute puissance de x dans la fonction de Sturm de degré /i.

Gela posé, si l'on donne à t une valeur très-grande, le coefficient

^^y. se réduit sensiblement à — ^^^^^ x /; pour f = •+- œ , la fonc-

tion . ^\'. aura le signe de — ^(^npô* ®*» P^""* f = — oo , elle aura un

signe contraire.

D'après la règle donnée par M. Hermite, le nombre des racines réelles de l'équation /{x) = o sera égal au nombre des quantités

'r[j:^)'i qui sont positives, dimiDué du nombre de ces quantités qui sont

négatives.

Par suite, pour trouver les conditions de réalité de toutes les racines d'une équation de degré m^ il suffit d'exprimer que la différence précédente est égale à m. Or les quantités xf;:^^ sont au nombre de m; il faut donc que

A("»-o. II , tz , -iL.

^ ' At— •> At'"-'^ "" AC^

soient des quantités toutes positives; A^"*"'^ étant une constante positive, il faut que toutes les quantités

AC-o, A(— '), A(— ^\ ..., A('), A

soient positives.

Ces conditions sont précisément celles que nous avons déjà trouvées, en faisant usage des expressions données plus haut, pour les fonctions de Sturm.

1 6. Nous allons actuellement comparer les expressions des fonctions de Sturm données par M. SyUestev {Philosophical Magazine, décembre 1839) aux expressions trouvées précédemment comme conséquences de la théorie de l'élimination.

Cette comparaison nous donnera la valeur des déterminants

en fonction des coefficients de Téquation proposée. On sait que M. Borchardt a démontré {Journal de Mathématiques pures et appliquées^ t. XII) que le nombre de couples de racines imaginaires de Téqualion f{x) = o est égal au nombre des variations de signes que présente la suite des quantités

et, par conséquent, pour que l'équalion proposée ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que ces quantités soient toutes positives.

(4:») Le théorème de M. Sylvester peut être éQoncé comme il suit :

Soit y == o une équation quelconque de degré m^ dans laquelle nous supposerons le coefficient de œ^ égal à V unités et les racines a, b^c, .... / inégales; soit V| la dérivée de V. Cherchons par le procédé ordinaire les fonctions de Sturm Va, V, , . . . , V;„» c/i ayant soin de n'introduire et de ne supprimer aucun facteur indépendant de x ; les polynômesY ^ V< , Va , . . . , V;„ s'exprimeront en fonction de x et des racines de l'équation V = o de la manière suivante :

V — (jc — a) (a; — 6). . .(a; — /), • V, = l[x-b][x-c],,.[x^ /),

V, = ^ 2 (a - 6)' (a - c)' (6 - c)» (a; - rf) . . . (x - /) ,

V. = ^2 fa - *)»(« - f)»(6 - cY [a-dY{b~dy[c-dy[x-e] ...[x-l].

V„=r-(a — 6)>(a-c)»...(a — /)>(6 — c)'...(A--/)', les quantités X2, X3, . . ., X,„ étant déterminées par les formules

p, = I(a- by (a - c)' {a - d)' {b - c)» {b - </)' (c - rfj»,

p, = (a - 6)' (a - c)'. . . (a — /)« (6 c)' . . .(A- — /)» , et chaque somme 2 représentant une fonction symétrique des racines dont

tous les termes se déduisent^ par des substitutions ^ de celui qui est écrit sous le signe.

D'autre part, nous avons établi les formules générales

la première convenant pour des valeurs paires de l'indice m — fj. -+- i , et la seconde pour des valeurs impaires de Tindice. On tire de ces formules les valeurs suivanlespour Va, ¥,,¥4, ... :

V,= (— — y) (At"' »)ar ->-t-AV'"-"x«^-f-...),

/ AC"-») \ a

Si l'on compare ces expressions de Va, V3, V4, ... aux expressions de ces quantités données par M. Sylvester, après avoir mis préalablement ces expressions sous la forme

'•m rjt-t-l

il vient

Si Ton remplace^les quantités X2, X,,X4,... par leurs valeurs doDiiées plus haut, il viendra

\A<— "AC—V "Vp»/»./ '^

Or,

, on a

AC^-O m — p,,

par suite

et en général

kf«'-) = y:,,^^,.

On a donc

5o Si • • •

• • • vJ|,iH— jji-f.|

San- ^4-1'

Gj,i Gj.a

• • • VJj,jM jH-3

iJM— (M-|,l • • •

• • • vfm— j«,-4-i,Jw-ji-f-i

Les fonctions /7|„.{^4, de M. Borchardt sont ainsi évaluées au moyen des quantités G^^f qui s'expriment simplement en fonction des coefficients.

17. Nous allons» en terminant ce sujet, faire une remarque importante qui s'applique aux expressions trouvées plus haut des fonctions (le Sturm» sous la forme

qu'on peut écrire aussi

'^«-•ji+i — "^ A, X

^#«-:i+l,l ^«-ji+l 2 ••• ^M-/.-tl,m~'^ '^TO-;ji+i,iM-;jn-i'* "*"^m-^H,w-'^+i'* "^ ••"*~^»»-it+l,w

le signe de Ym^-^i^ pour toute valeur réelle de a?, est celui du déterminant (Ao étant supposé positif). Comme il suffit de connaître les signes que prendra ce déterminant quand on y substituera à a: les valeurs iCo, a?, numériques, on pourra introduire successivement ces valeurs dans le déterminant et proGter de toutes les simplifications qui se présenteront; on n'aura plus qu'à opérer sur des quantités numériques. La méthode de M. Hermite présente les mêmes avantages sur celle qui consisterait à former les fonctions de Sturm au moyen de divisions successives.