Faisons quelques applications de ces relations

Il ne peut y avoir plus d' un m critique dans une équation de dimension m.

Si n =z niy la catégorie /, qui est toujours 1 m — w, devient zéro. S'il y avait deux points m-critiques, on aurait

m* -h m -f- 1 ^ a m' — im — 2, m* — 3 m — 3 1 o.

Une des racines du trinôme annulé est négative el l'autre comprise entre 3 et 4i et //i 1= i , 2 , 3.

TUÉORIB GÉNÉRALE DES POINTS POLTCRI TIQUES. 29

Les dimensions i et 2 sont à écarter, car on sait que, pour mzni, on a affaire à l'équation bien connue de Jacobi, et pour /n =z 2 à Téquation étudiée par M. Darboux, et qui peut avoir plusieurs points dicritiques.

Pour mz=i3, m'4- /w H- ii=ri3 et m' — m — i = 5, il peut donc y avoir deux points Iricritiques au plus.

Si donc on met de côté cette dernière équation de dimension 3, qui sera étudiée dans la seconde Section de ce Supplément, la proposition est démontrée.

18. THÊORÈaiE. — Si une équation de dimension m possède un m^critique, son intégration se ramène à celle d'une équation de Riecati; s'il y a un m-hypercritique, l'intégration n'exige que des quadratures.

Prenons le point m-critique au point c«)(j:?i=: j?,:=o), les formules du n° k donnent immédiatement, si Téquation est

2 Pi "1 = 0,

«/«> à,n9 . . ., c,„= formes binaires en x^ et x^ d'ordre égal à l'indice. Changeons de variables en posant Xi:=ix, Xi^zi^ Xi^=: z; alors

Ui ou x^dx^ — x^dxi devient dz,

Uf ou X3 dxi — Xi dx^ » z dx — x dz^

Mj ou Xi dxi — x^ dxi » — dx^

et l'équation différentielle devient