THÉORIE GÉNÉRALE DES POINTS POLYCRI TIQUES

Sous le bénéfice de \^a7/M, = o, il est licite d'écrire

l — »*' o Mu T^ • . . y

r * L et M sont des formes binaires en Xi et œ^ d*ordre

puisque H est de dimension 2{p-—}). D'autre part, Pj débute par un terme en ^J^''"'"' et K a pour ordre 2(r — i). Il résulte bien de là, en se reportant au théorème du n** 4., que le point;ri=::a:,=:o est 2r-critique pour la réglementaire.

15. La signification géométrique de K est fort simple. Reprenons la courbe h (13) fournie sur la surface i par le fondamental /-^^p^^j?; les coordonnées du point courant sur A sont proportionnelles à a„ ^,., Cr9 d,.. D'explications données au Mémoire, il résulte que les valeurs de Xi : jjj, racines de l'équation

i=K=zo,

donnent les points de h où la tangente est capitale. Si donc K est identiquement nul, la tangente est capitale en tout point de h; h devient une intégrante de i. Mais si K = o, on voit immédiatement que le point fondamental /"p^® n'est plus 2/*-critique, mais bien 2 /--hypercritique pour la réglementaire. Nous énoncerons donc le

Théorème. — Pour qu'un point fondamental r"P^« soit non pas ir-critiquCy mais 2 r-hyper critique pour la réglementaire , il faut et il suffit que la courbe h fournie par le point fondamental soit une intégrante.

11 est à peine besoin de faire remarquer que les considérations des numéros précédents, à partir du n® 11, et relatives à un ordre de multiplicité /• du point fondamental et à un ordre p des formes ternaires, cpy quelconques, sont la généralisation de ce quô j'ai démontré au

28 SUR LA THfiORIE DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

commencement de la iroisiôme Partie du Mémoire pour le cas particulier /-zzil, /7=r 4*

Quoique le sujet soit encore très riche, j'arrête là l'exposé de la méthode générale des points polycritiques et polyhypercritiques, et je passe aux applications. La principale raison d'être des développements présents se trouve dans la troisième Section de ce Supplément. Mais plusieurs applications peuvent être faites immédiatement.

Applications diverses de la théorie générale des points polycritiques.

16. Une équation différentielle du premier ordre et du premier degré n'a, en général, que m'-f- m -hi points monocritiques. La polycriticité est une singularité qui exige entre les coefficients des relations d'autant plus nombreuses, que l'ordre de polycriticité est plus élevé. Il est d'ailleurs facile de trouver, pour une dimension donnée m, la limite supérieure du nombre des points polycritiques et polyhypercritiques. Le théorème du n^^Sbis donne immédiatement l'inégalité

le premier 2 s'étendant aux divers points polyhypercriliques d'ordre n respectivement; le second 1 comprend les points /i-critiques de catégorie / respectivement. On peut même, en écartant des cas particuliers, où le raisonnement géométrique des n" H et S bis serait en défaut, écrire