Xb,n{x, 1) — rt,;,(j7, l
Si w est m-hypercritique, c,rt,= o, et l'on est ramené à une équation différentielle linéaire, dont l'intégration n'exige que des quadratures. Ce théorème a été déjà énoncé par M. Darboux pour la dimension deux (Darboux, p. i25).
19. Passons maintenant aux points {m — i)-critiques dïine équation de dimension m.
Combien y en peut-il avoir?
Un premier point absorbe, sur les /n*-h /w -h i points critiques possibles, au moins
(m — i)* — (m — i) — i=i/w* — 3/w-hi,
et il reste pour les autres points (m — i)-crijiques au plus ^m. Pour qu'il y ait un second poiiit (m — i)-crilique, il faut que
[\m^m} — 3wî -Hi, /w* — 7m -+- ilo.
Les racines du trinôme sont comprises entre zéro et un et entre six et sept. Il y aura donc plus d'un point (m — i)-crilique seulement pour m = I, 2, 3, 4, 5 et 6.
Deux points {m — i)-cri tiques absorberont i{m} — 3m-t-i) points monocritiques sur les m*-i-/w-+-i, et il en restera encore au plus pour un troisième
m'-hw-l-i — 2(m* — Zm -\-\).=^ — w*-4-7w — i.
Il faudra donc avoir
m} — 3 m -h 1 1 — ni^-i-jm — i , 2 m- — lom ■+■ 2S0, m* — 5 m -h 1 2 o.
Les deux racines du trinôme sont comprises entre zéro et un, entre quatre et cinq; il y aura trois points {m — i)-critiques seulement
pour m = 1, 2, 3 et 4.
Le cas m := i, 2, 3 ne présente aucun intérêt puisque Ton a affaire à des points mono et dicritiques; Téquation de dimension quatre à trois tricritiques sera étudiée dans la seconde Section.
Il serait facile de multiplier ces applications. Je n'ai voulu indiquer ici que la marcbe à suivre et signaler quelques équations remarquables que j'étudierai dans la seconde Partie.
20. La connaissance des points polycritiques donne quelquefois a priori l'intégrale générale, et voici comment :
THÉORIE GÉNÉRALE DBS POINTS POLYCRITIQUES. 3l
Prenons une courbe indécomposable /==o el une écjuation de dimension m,
Si /• est Tordre de/=o, on a vu que les points allachés à/=o dans le connexe seront découpés sur la courbe par une seconde courbe
àf
et seront, par suite, au nombre de
r{ni -h /• — ï).
S'il y a plus de /(m h- /• — i) points attachés, P/est divisible par / et fzn o est une intégrale.
Supposons maintenant qu'un faisceau de oo courbes d'ordre r passe par divers points polycritiques d'ordre n', n\ n", .... Il y aura en chacun de ces points n\ w", n'^^ . . . points attachés, et si
chacune des courbes sera une intégrale; l'équation sera intégrée complètement.
Un premier exemple est donné pour la dimension deux, lorsqu'il y a quatre points dicritiq^ues : le faisceau des coniques passant par ces quatre points donne l'intégrale générale. Ce résultat a déjà été aperçu par M. Darboux (Darboux, p. 127).
Pour la dimension trois, nous signalerons les équations qui ont un point tricritique et trois points dicritiques; toute conique passant par les quatre points aura 3.-4-2 x 3=19 points attachés au lieu de 2(3-+-2 — r) = 8 et sera une intégrale. Le faisceau de ces coniques donnera l'intégrale générale.
On multiplierait aisément ces exemples.
21. Je vais passer maintenant à quelques applications d'un tout autre ordre, où jouent encore un grand rôle les points polycritiques et polyhypercritiques.
Dans le premier Chapitre du Mémoire, j'ai exposé une manière de représenter dans l'espace une équation différentielle ou un connexe par une surface i, de façon que les intégrales fussent représentées par les courbes intégrantes tracées sur la surface i.
J'ai établi ensuite des relations entre le degré N de la surface i et la dimension m de Téquation. Voici ces relations :
Si Ton considère un élément fixe du plan du connexe ou de Téqualion différentielle (élément focal ou focal) [par exemple, Télément formé par le point (ù^Xxzzzx^^^o) et la droite 12(;r,=i: o)], et les oo coniques adhérentes au focal (tangentes a Q en w), le degrés de i est le nombre des points, autres que w, attachés dans le connexe à une quelconque des coniques précédentes.
Je vais m'occuper spécialement des équations où N, au lieu d'être, comme en général
2(/W-hl),
ne dépasse pas m. Voici leur construction.
22. Soit n Tordre de polycriticité du point (ù{xi=z x^^ o), qui forme le focal conjointement avec la droite £2(^1=0). Je ne restreins ainsi nullement la généralité, puisqu'un point ordinaire peut être assimilé à un point critique d'ordre zéro (5). On aura, pour l'équation différentielle (5),
les a, 6, c étant des formes binaires en ^i, x^ d'ordre égal à l'indice et les indices négatifs, dans les cas /ir^o et i, indiquant des expressions identiquement nulles.
Une conique quelconque tangente en o) à la droite 12 a pour équation
/== kx^x^ — f) 1=: o> I) = dxix\ -+- idiiXiX^-\' ûfsî^f,
k, diiy du, di^^=: const.
Cherchons sur la conique les points attachés. On a
P/=2 ^' di. =- *c«,J?,a;'«-»+» - *^,c„,-i- 2 ^"""^ ^'— ^^»*r),
0;.= a,.Di-h t?rlJ%f Wi^ j^y 1^2= ^
THfiORIB GÉNÉRALE DES POINTS POLTGRITIQUES. 33
Les points attachés cherchés seront découpés sur la courbe P/ =^ o, de degré m -+- 1, par la conique /= o elle-même. Si donc on remplace, dans P/, a?8 par
et qu'on chasse les dénominateurs, la forme binaire, obtenue en
s=m—n-ht
donne, par son annulation, les droites qui joignent w aux divers points attachés.
A est d'ordre am-i-a — w, puisque le point co étant /i-critique n points attachés sont déjà confondus en w (théorème du n° 3). Il doit y avoir parmi les 2 m 4- 2 — n points attachés définis par la relation A = o, N ailleurs qu'en w et, par suite, 2m-h 2 — n — N confondus avec w. Comme la droite ^,=^ o ou û touche la conique /::^ o en 0), la forme binaire A doit être divisible par ar|'»^"*-"-^ et cela pour Ar, diiy dify d^i quelconques, puisque le fait doit avoir lieu pour toute conique tangente en co à 12. Le coefficient dans A de chaque puissance de k doit ainsi être divisible par a?|'""^*~'»"^', c'est-à-dire
(°^ ^a^-Hœh -D6 .} divisibles par xr*«—«, 51=1,2, 3, ...,w — n -{- l
puisque x^ ne divise pas D.
Telles sont les relations dans le cas général. Je vais, dans la suite de la discussion, supposer que rentier N ne dépasse pas la dimension m, m^N.
Pour discuter les relations (o), je vais supposer successivement
c„2^o, oj /i-critique, C;,j=o, Cl) w-hypercritique.
23. Première hypothèse : Cn-i^o. — Alors les relations (o) du numéro précédent donnent immédiatement
n — 2 ^ 2 m -h i - - n — N Univ. de Lyon, III. — A. 3
34 SUR LA THfiORIB DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
et
et, comme m^N,
ce qui donne une limite inférieure de Tordre de polycriticité n. Les relations (o) donnent ensuite
. . \ ^«—2 — «^2 YN— î/n— M-î«>
les q étant des formes binaires en œ^y x^ d'ordre égal à Tindice. Enfin on a {voir plus haut n° 22)
X\ ( X^ Os-hn- 1 " ^f-4-n— 1 )
-—•^2 L "il ( 2 ^1^2^*-+-»-! «^^^i ^f-«-n-l) -h «22 (2^2 Og^n—l ^2 ^s-hn—i ) -h 2ai2(^j«j-+./i— l-h .ri^2^*4-«-l — '^l'3^2^*-»-/t-l)] ( )>
5ZZII, 2, 3, ...,m — w-f-r, expression qui doit être divisible par a:|'"+'-"-'^ quelles que soient</i,,
Cela fournit immédiatement les conditions
A^, B^, Cf = formes binaires en ^r^, x^ d'ordre
N + 2(5— m+Al — l) (5=: I, 2, . . ., m — /l-hl).
L'ordre de A,, B^, C, est minimum pour 5=:i et est alors N — 2 (m — ai), c'est-à-dire, en vertu de (i), au moins quatre. Du système (3), on tire
/ n — /y.2m-+-l— rt— N— J A \
( ' ) Je ne fais pas les réductions pour indiquer la provenance des termes.
