THÉORIE GÉNÉRALE DES POINTS POLTCRITIQUES

et Texposant de ^r^ est au moins, pour 5 = m — /i-4-i, w — N, c'està-dire n*est pas négatif.

Tenant compte du système (4) dans la troisième des relations (3), j'obtiens, après suppression dans les deux membres du facteur

/yiSm — n — N

•3?i ( 2 JP^ \g — ^1 Sjg ) "^^^ .2?2 Kjs»

Cela donne d'abord

Ci étant au moins cubique, et ensuite

2^2A5— ^iB,= j?*Ci, d'où Bi=j?,Bi,

et enfln

2 A, = j?, Ci -h J?i Bi.

Sous le bénéfice du système (3), on a finalement

Si l'on tient compte à la fois des systèmes (2) et (5) et des expressions de P, dans le n** 22, j'obtiens, doublant les q,

2P,= 2a;;-'.2;»'«-N-'(a:,B,;,,H.,„„,-t- a;,CN-,4-,(.-m)),

aP.= 32<~'^î'"-''-''BN-.H..(,-m).

On voit que les trois P,- sont divisibles par j?^-^, et, comme la dimension de l'équation est m et non m — m -t- N ou N, il faut évidemment avoir mz=:N. Alors

Pi ^^^3 ^2 ('^|Bj|,„i -h J?îti2/;„, ),

Enfin, rinégalité (i)'

assure bien le signe positif au\ indices de B', C et des q.

Les formules (6) donnent ainsi les équations qui ont au point w uri point critique y mais non hypercritique, et pour lesquelles la dimension n'est pas inférieure au degré N de la surface représentative S,

On voit que S a précisément pour degré la dimension de Téquation et qu'il existe une limite inférieure pour Tordre de polycriticité de w.

'^/Seconde hypothèse : Cn-2^=0y oi point n-hypercritique, — Le système (3) du numéro précédent subsiste, mais se discute un peu autrement.

On ne peut avoir a«= ^«=1, car le point w serait alors (/i-h i)-critique. Alors, faisant dans le système 5 = 1, on voit que

et comme N ^ m, il reste

ce qui fournit pour Tordre de polycriticité de co une limite inférieure. Si les inégalités précédentes sont satisfaites, on peut résoudre le système (3) du numéro précédent par rapport à a^+n-i et bg^^^i. Il vient le système suivant identique au système (4) du numéro précédent

— «,»mH-l— rt— N— 5 A s-i-n—1 — ^^2 ^S9

Texposant minimum de x^ est, pour le maximum m — n -h i de 5, égal à m — N et n'est pas négatif. Le minimum de Tordre de A, a lieu, au contraire, pour 5 — 1 et est N — 2(m — /i).

Si Ton tient compte de la relation (o), on peut supposer

OU N -- 'î(m — n) positif.

Si j\ — 2 (m — n) =::o, A, et Bj sont des constantes ainsi que C,; mais, dans la dernière des relations (3) du numéro précédent, C, est

TaéORIE GÉNÉRALE DES POINTS POLYCRITIQUKS.

divisible par a:^; cela exige Ci = o et, par suite, Ai=Bi=::o. Alors a„=: bn= o et (1} serait (au- i)-critîque, ce qui est absurde.

Il faut donc faire N — 2(m — /i) > o. Alors Tordre de A,, B,, C, est au moins un. La discussion s'achève comme au numéro précédent; on obtient, pour Pi, Pj, P3, les mêmes expressions, sauf que P3 se réduit à ^,„. On aura encore

et la relation (o)' deviendra

25. J'ai construit d'une façon complète l'équation pour laquelle le degré N de la surface représentative £ ne dépasse pas la dimension m et j'ai montré que N est alors précisément égal à m. Je vais maintenant indiquer en quoi consiste l'intérêt de semblables équations.

Mais, auparavant, donnons un mo^'cn de reconnaître si une équation donnée rentre dans la classe que nous étudions.

Il faut d'abord qu'elle possède un point w

ou bien

Ti-critique tel que 2 w ^ /w -+- 4,

n-hypercritique d 2 /i > m.

Ensuite, si nous cherchons quelles droites forment avec le point w des éléments critiques (6), nous reportant aux formules (6) du n° 23, nous voyons que ce sont les droites

Ainsi m — n-\-i éléments critiques sont confondus avec le focal.

Voici donc la règle pratique pour trouver si unç équation donnée rentre dans la classe à étudier : on choisira, parmi les points

/2-critiques tels que 2 ai ^ m -h 4>

/i-hypercritiques » 2 « > m,

ceux pour lesquels il y aura m — n h- i éléments «-critiques confondus. On choisira les coordonnées de façon à avoir pour l'élément (m — /î -H i)"P*e critique

«J^i — '- JC'^ — Wj — Wj — o,

et l'on verra si P, prend la forme indiquée aux formules (6) du n** 23.

26. L'intérêt des équations que nous étudions est que leur inté gration se ramène à celle d'une équation de dimension moindre.

Rappelons d'abord quelques propriétés du mode de représentation introduit dans la première Partie du Mémoire.

Toute conique adhérente au focal représente une capitale de l'espace H lieu des surfaces représentatives S; les diverses coniques adhérentes au focal et passant par un point flxe représentant les diverses capitales [de H qui rencontrent une certaine capitale fixe, laquelle, à son tour, rencontre le côté ^14(51=154=10) du tétraèdre de référence.

Un connexe d'ordre m et de classe p étant donné, toute capitale qui rencontre gn, ne perce plus i, ailleurs que sur ^u, qu'en/? points, toute capitale qui rencontre ^,4 ne perce plus /, ailleurs que sur gu, qu'en m points.

Toutes ces propriétés ont été longuement exposées dans le premier Chapitre du Mémoire et il suffit ici de les rappeler.

27. Cela posé, prenons une équation de dimension m, ayant m pour degré de la surface représentative /. Supposons que, outre le point /i-critique w dont il vient d'être question, il y ait encore un point /i'-critique, que j'appelle w'.

Toute conique adhérente au focal et passant par «' n'a plus, ailleurs qu'en w et w', que m — n' points attachés. Le point w' représente une capitale h de l'espace U, laquelle rencontre ^14. Les coniques dont il vient d'être question représentent les capitales de H qui rencontrent h. Les 00 éléments adhérents à co' sont situés sur le connexe et représentent en même temps les divers points de li\ h est donc située sur i, et toute capitale qui rencontre h ne rencontre plus ailleurs i qu'en m — n' points.

D'ailleurs, la classe du connexe étant un, toute capitale qui rencontre ^14 ne rencontre plus ailleurs i qu'en un seul point. . Faisons intervenir une de ces substitutions régulières linéaires longuement étudiées dans la seconde Partie du Mémoire : uous pouvons laisser ^14 fixe et faire coïncider l'arête ^24 du tétraèdre de référence, précisément avec h. Soit i' la surface transformée de i par la substitution régulière. Les intégrales de l'équation différentielle proposée, les intégrantes de / et de i' seront connues dès qu'on connaîtra les intégrales de l'équation P', qui admet i pour surface représentative.

THÉORIE GÉNÉRALE DES POINTS POLYGRITIQUES. Sq

Or, toute capitale de Tespace H qui rencontre

gn ne perce plus ailleurs S^ qu'en un seul point, ^,4 » £' qu'en m — n! points.

L'équation P' sera donc du premier degré et de dimension m — n'.

Théorème. — Toute équation de dimension m, qui a aussi au plus m pour degré de sa surface représentative et qui possède, ailleurs qu*au point de V élément focal, un point n^- critique, s* intègre par une équation de dimension m — n'.

Comme il y a, en général, hors du point de l'élément focal, au moins des points monocritiques, la dimension pourra être, en général, abaissée d'une unité au moins.

Du rôle des pointe polycritiques et polyhypercritiqnes dans l'application

de la méthode de M. Darboux.

28. Il est naturel quand on présente, comme je le fais, une méthode nouvelle pour l'étude et l'intégration de certaines équations différentielles, de chercher les rapports de la méthode avec d'autres précédemment connues. Dans le, cas actuel, nous trouvons la méthode de M. Darboux, telle qu'elle est exposée dans son Mémoire, si fréquemment cité par moi, du Bulletin des Sciences mathématiques (1878). Au cours de mon Mémoire, j'ai toujours eu soin de montrer que la méthode de M. Darboux ne réussissait pas pour les équations que j'intégrais par la mienne; mais je n'ai jamais cherché d'une façon générale le lien qui réunissait mes recherches présentes avec les travaux de M. Darboux sur la matière.

Les considérations fondées sur l'emploi des courbes intégrantes tracées sur les surfaces sont évidemment sans lien aucun avec les travaux de M. Darboux; mais il n'en est pas de même des considérations fondées sur les propriétés des points polycritiques et polyhypercritiques. En effet, les points critiques ou singuliers, comme dit M. Darboux, jouent un certain rôle dans sa méthode, et il est intéressant de rechercher comment se range ce rôle dans la théorie générale des points polycritiques, telle que je l'ai exposée au commencement de ce Supplément.

4o SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.