Etant donnée une équation de dimension m
et s intégrales particulières algébriques
/=Oy /,=ro, ..., /t^i=o, on a, par déOnition,
P/=K/, P/,= K,/„ ..., P/,-, = K,«,/,-„ les K étant des formes ternaires en ^/ d'ordre m — i et
M. Darboux montre que, si Ton trouve s constantes a telles que
(i) JSa/i 1= ah -h «1^1 -+-. . .H- a,iA,, == o,
(2) 2aK = aK -+- aïKi-h. . .-f- a,iK,t=o,
les h étant les ordres des /, l'intégrale générale sera obtenue en égalant à une constante arbitraire le produit d'ordre zéro
Le premier membre de (2) est une forme ternaire d'ordre m — i : il y
a donc |/n(/n-hi) coefficients à annuler, ce qui, joint à (i), fournit
entre les a
m(ni -f- 1)
relations linéaires et homogènes; pour y satisfaire, il faut que les arbitraires a soient au nombre de -Jm(/w-t- i) -h 2 au moins; il faut
donc q&e
en général.
Cela posé, supposons qu'il y ait un point /i-critique w par lequel ne passe aucune des s intégrales particulières. M. Darboux a examiné ce qui se passe pour n=:i; je vais généraliser son analyse pour n quelconque.
THÉORIE GÉNÊRALK DES POINTS POLYGRITIQUES. 4^
Soit ;ri = a?s= o le point &>, on aura dans l'équation
d'après le n® 5,
Pi UnX';^ "H-. . .-Ha;,„
Pî ^n^" "-H. . .-H^/«,
/, =:^t-f- Orf»)^'!-!^.
H- (c„,<-''+' -h c,„) [A^5-« + ( A - i).r*-Vi + • • •]
^j^ désignant une forme binaire en x^ et ^, d'ordre égal à a,
Par simple division, on trouve
et, par addition,
les 1 s'étendant aux s intégrales particulières algébriques dont on dispose.
La courbe d'ordre m — i, H = o, possède en w un point (ai — 2)"pi«, mais si l'on fait
(3) 25c/t~ia^,rr:0,
}^ <ir» LA TWtOtn ftt» iQC.tTIO!9» BIVFtHCfTnLUS.
1^ point '»> rl«*vif nt /fP*« et il ne re^te phi^ dan:» le premier memlire de
la relation ii) que
coefficient^^ à annuler au lieJi de J^m. m-^i)i or, lesreUtIoQS( 3) fournii^"^enl, les ^, étant linéaires, troi.'i équations entre les a, dont une idenfiqrie à Ci).
Non M n'avon!^ donc, pour déterminer les 2 et annuler identiquement H, qu'à :4dli.'*faire à
équations linéaires et honïofrènes au lien de
Si c«j est nul, le point 'j) est /i-hvpercritique, &> est un point #i*p'* de la courbe H = o, et le nombre des conditions entre les a se réduit, comme on le voit de suite, de
unités.
30. Si /i~i (cas considéré par M. Darboux), w est monohypercritique et le nombre des conditions entre les a se réduit d'une unité; s'il y a 7 points pareils, le nombre dos conditions se réduit de q unités et on retrouve la proposition de M. Darboux :
fft ( nt -+- I ) Si l'on a — h 2 — 7 =^P solutions particulières algébriques
/> /i> • • •» /p-i ne passant pas par q des points singuliers, l'intégrale générale sera de la forme
/V?'--/;i:T'--const.
D'après l'analyse qui précède, il est aisé de voir comment le tbéorème se» modifie si //>i. (^Jiaque n-crilique réduit le nombre des
THÉORIE GÉNÉRALE DBS POINTS POLYCRITIQUES. 43
conditions entre les a de {/i(/i4-i) — 2 unités, chaque n-hypercritique de ^/i(/i -H i) unités. Ainsi :
Dans Vapplication du théorème de M. Darboux, chaque n-critique compte pour |/i(/n-i) — 2 points monocritiques, chaque point n-hypercritique pour \n{^n -^ \),
En particulier, chaque point dicritique ne compte pas plus qu'un point monocritique. Je n'ai donc rien à changer au Mémoire où je n'ai considéré que des points dicritiques.
44 SUR L^ THÉORIE DES ÉQUATIONS OIFFÉREiNTlBLLES.
