DEUXIÈME SECTION
TRANSFORMATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ PAR UNE SUDSTITUTION CREMONA.
31. Dans les quatre derniers Chapitres de la troisième Partie de mon Mémoire, je me suis servi des propriétés d'une substitution quadratique ou cubique Cremona, au point de vue des modifications qu'elle introduit dans une équation différentielle. Mais je n'ai traité la question qu'au point de vue des applications assez immédiates dont j'avais besoin. Je me propose de reprendre la théorie d'une façon tout à fait générale; j'en aurai besoin dans la troisième Section du présent Supplément; de plus la théorie, conjointement avec celle des points polycritiques, permet d'intégrer un certain nombre d'équations différentielles; elle mérite donc une exposition détaillée.
32. Rappelons quelques propriétés d'une substitution Cremona d'ordre /
On sait que les trois courbes d'ordre / (p,= o ont /*— 1 points fixes, que j'appellerai essentiels (*) ou points essentiels de la substitution a. D'une façon générale, les courbes 9^=0 peuvent avoir des points multiples communs, c'est-à-dire des points essentiels multiples. Un point essentiel r"P*« équivaut à r* points essentiels simples. A un
( ' ) L'expression consacrée est fondamentaux. Si je change le mot, c'est afin d'éviter la confusion avec les points fondamentaux dans les équations réglementaires.
TRANSFORMATION DE L*ÉQU. DIFP. PAR UNE SUBSTITUTION GREMONA.. ^5
point essentiel r"P** de a, o- fait correspondre non plus un point unique, mais tous les points d'une courbe unicursale d'ordre r, que j'appellerai courbe essentielle de o-. Je dirai, pour abréger, que o* transforme chacun de ses points essentiels r"P*" en une de ses courbes essentielles d'ordre r.
Pareillement les trois courbes d'ordre /, 0/(.r)z=o, ont aussi des points communs ou essentiels de la substitution a~^ équivalents à /*— I points communs simples; o-""* transformera encore chacun de ses points essentiels r«p*e* en une de ses lignes essentielles d'ordre r.
Enfin si o* transforme un de ses points essentiels a: en une de ses courbes essentielles X, c"* transformera tous les points de X en le point unique a?.
Tous ces résultats sont très connus, et je n'insisterai pas davantage, renvoyant au second Volume des Leçons sur la Géométrie de Clebsch.
33. J'emprunte maintenant quelques notations à deux Mémoires de moi insérés au Journal de Mathématiques (1887 et 1888) et traitant des substitutions crémoniennes et des substitutions linéaires de contact.
Dans ce travail, j'ai considéré les transformations par une substitution Cremona non pas d'un point Xy mais d'un élément (^, u) de connexe. J'ai montré que la substitution transformait les coordonnées xt et Ui de l'élément de la façon indiquée par le symbole
Ui ^Uj^ij
0/y étant le coefficient de -^ dans le jacobien des 9/. De plus, bien entendu,
^UiXi^O.
Posons
(7 Xi =r cp,-, (j Ui =z 2 uj ^ij ;
appelons c^, le point de coordonnées o-^,, transformé de x par tj et Gu la droite de coordonnées (tm/. Appelons (7{.Ty u) ou transformé par fj de Vêlement (x, u) l'élément (ex, 7u).
Soit jf un connexe f(.r,u)=o; le connexe tC aura par déSnitioa ponr équation
An lien d'écrire Ffj?, «) = o, on peut écrire
F ( ^^r** jp, ^-r"* M ) = o,
piiir;rjne 9^ Jt rri j?, ^^^* u^=^ u,
f>n voit alors que le connexe ^Ce^t le lien «ies élément.'* a^M^, a), (.a?, u) étant Télément courant du conns^xe C tC sera /<? iran.%fornké par ff du connejte €.
Soit une courbe C p(,r)z^o ou 71 « » =r o, décrite par le point mobile j? on enveloppée par la droite mohili* «/, la courbe s-C iransformée de C />flrr ç aura pour équation
9p{x) -^ p{'7X)-^o OU çq{u)^^q{çu)=zo,
en écrivant/?(a;)et/>(^jf)aulieu de/>(jr,,X4, jt,) et p(^jr,,3^jr„ffx,). La courbe ^C sera parcourue par le point o-' jr ou enveloppée par la droite o~* u. En un mot, le symbole de la substitution placé devant celui d'une r/uanlité ou d'une figure désignera ce que devient la quantité ou la figure par Vefiet de la substitution,
34». Si Ton a un connexe Q d'ordre m et de classe c, le transformé aQ aura, en se reportant à l'expression de a donnée dans le numéro précédent, pour ordre m/H-2c(/— i)et pour classe c, /étant Tordre des formes ternaires 9/ qui déOnissent <7. Si c ^= i et qu'on considère le connexe P auquel nous avons toujours affaire, on voit que le connexe cP, dont Téquation est
a encore pour classe un et pour ordre
P,((p) étant ce que devient P, quand on remplace xt par <p/.
On voit ainsi qu'une substitution Cremona d'ordre / transforme une équation (différentielle du premier ordre et du premier degré) do dimension m en une équation de dimension /n/-H a(/— 1).
TRANSFORMATION DE l'ÉQU. DIFF. PAR UNE SUBSTITUTION CREMONA. 4?
L'équation différentielle P peut s'écrire aussi
^Pi{xda:)i~
dxi a'i Pi
=r {Px dx) =0,
La transformée par o- de Téquation pourra s'écrire
Remplaçant l(^i par ^Içiy^v, ^9i par ^^^ijdxj^ {xdx)i par m,-, on
retombe sur la relation (o); cp/y désignant -r^ •
Cherchons ce qui se passe à l'égard des points polycritiques et polyhypercri tiques par l'intervention de la substitution Cremona a, d'ordre /. Appelons, suivant les conventions du n® 33, o-P la transformée par (j de l'équation différentielle P; o-P aura pour équation
Qz=(P((p)(p6/cp).=22P'(?)^'V«y = o,
et pour dimension m/ -+- 2 ( / — i ).
35. Théorème. — Si un point w est un essentiel r'*'f*^^de c, il est pour ffP un point r{m-\' 2)~critique.
Soit ^1= x,= o le point o); on a alors
ai=
forme binaire en Xy et a?i d'ordre r,
= au x'^ -h
^/îJ?;-
— {l — r)aiX^f''-^ -+-(/— r — i)è,^r
dat
SUl LA TBiOMIB DIS tQOATIONS DIPPftlINTIILLBS.
puis
= (/— r).rî<'-''^-»
Sous le bénéfice du théorème d'Euler
Ki = jacobien des deux formes binaires d'ordre r a, et a^. Un calcul analogue donnera
Enfin
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