TRANSFORMATION DE L*ÉQU. DIFF. PAR UNE SUBSTITUTION CREMONA
Si l'on reprend Téquation aP
on voit que Texposani maximum de x^ sera
— r/wH- /m4- 2(/— r) — 2 dans Qj et Q„
— /m H- //w -f- 2 (/ — /•) dans Qj.
Se reportant au théorème du n<* 4 et remarquant que o-P a
ml -h 2(/ — i)
pour dimension, on trouve bien
m/ -+-2/— 2— /m -h r/n — 2/-i-2rH-2=:r(/n + 2)
pour ordre de polycriticité de w. c. q. f. d.
Ce théorème est à rapprocher du fait bien connu suivant : La courbe (j Ça a un point mr^-P^^ en un point essentiel r*^P^' de <j, m étant V ordre deC. '
36. Théorème. — Si un point essentiel r^^^^^fù de 0—* est n-critique pour l'équation P, et si Von désigne par cj m o /a courbe essentielle d'ordre r de ff~* correspondante à w, l'expression Q perd le facteur fsj^ et la dimension de aP s'abaisse de rn unités,
Q désigne comme toujours (P(9) 90^9) ou
quantités qui ne diffèrent que par un facteur infinitésimal de proportionnalité.
Puisque &)(j7i=^,:=o) est un point, essentiel /"p'* de <7"*, c transforme tout point de la courbe cj = o en w.
On a donc, si
ij = \xi 9/(.r)|,
la courbe gj = o étant indécomposable, en général.
Univ. de Lyon, III. — A. 4
Pj^^/.r* -• — ....
« * '/,jrj ^- . . -,
0;la po?*/;, t*i(9; c;l Pi^9; contiennent cr* en facteur; P^f pj ne contient en fhcU'ur rjuc w''^*; mais le coefficient de P,- 91 dans Q est
c'enl-ii-flire
Ainni Q Chl divisible par w'^ et la dimension de cP s'abaisse de /7£ finit^îH^ pour devenir
Im -\- i{l — i) — rn. c. Q. F. d.
iU* lliéorêuie e^t à rapproclier du fait bien connu suivant :
Si une courbe (' passe n fois par un point essentiel r^p'^ de o"~*, ce point étant un point n'^t^fe de la courbe ^ aC perd n fois la branche m - Of m r-- o étant U essentielle de <j~^ correspondante au point considéré» L'ordre de 7C s'abaisse de rn unités.
37. Thêor&ME. — Si l'essentielle C correspondante à un essentiel f'npiff,^ de (j (*st une intégrale de P, co est un point r{m-i- 2)-hypercri' tif/ue pour l'éf/uation a P.
Soit r,)(.r, .r^ . o) ressoiitiel considéré; on aura, comme au ti" :W,
ff,' forme binaire d'ordre /* en a?, et a?,.
L'essenlielh» correspondante il sera, comme on sait, la courbe unirursHh» d'ordre /• dc'^finie par le système
ofi Ton H remplacé, dans n,, .ri el .r.> par un paramèlre t: f^.
tkansformàtion ue l*èqv. difp. par une substitution gremona. 5i
Construisons o-P,
Q=:^QiUi^O,
il viendra, comme au n« 35,
Dans P,(9), la plus haute puissance de x^ est
mil-n
et a pour coefficient
P,(«„a„a,)=i:P,(ûr).
Delà
Pour que w soit hypercritique, il faut et il suffit que le terme en
manque dans 0$ (c'est le terme c«-,j7j*"''^* du théorème du n<> 4-), c'est-à-dire que
P,(a) a,i «1, P,(ât) a,i a„
^rtl
da^
da^
eu égard à la signification des K (35) et des ^,7= -r —
Gomme pour un point quelconque x de Tessenlielle C, xi est proportionnelle à a/(^i, ^î), en x Texpression
dx^
Pi
dx^
Ps
dx^
se confond avec
da^ . «1 Pi (a) da^ a, Pî(«) e/aa a, P3(«)
où Ton a écrit ti et t^ pour j^i et a^j. Ainsi {Pxdx) = 0, en vertu de
est nul en tout point de C. Gela montre bien que C est une intégrale; réciproquement, si C est intégrale,
pour tout point de C, ainsi que
et 0) est bien r(m -+- 2)-hypercritique. c. q. f. d.
38. Je puis maintenant chercher où sont situés les points critiques de réquation o-P
Pour un pareil point a;, Q doit s'annuler indépendamment des différentielles; or
Pi ?i ?i(ï
Pi 92 ?îa
donc Je rappelle que, si Ton a une substitution Cremona
le jacobien ^ des 9/ est un produit de facteurs dont chacun, annulé, représente une ligne essentielle de (T"*; réciproquement toute ligne essentielle de 0-* est une branche de jacobienne des 9,. Ces résultats sont classiques et il est inutile de les démiontrer. $17 désignera comme
toujours le coefficient de ~i dans O.
Supposons d*abord que le point critique cherché .r de o"P ne soit pas sur la jacobienne des 9,. Alors x ne sera ni sur une essentielle de o*"*, ni en un point essentiel de cr.
Q=^dx^
oc
=lhÈ:h"
TRANSFORMATION DE l'ÉQU. DIFF. PAP UNB SUBSTITUTION CREMONA. 53
Cela posé,
Pi 9î 921
Pi ?3 ?81
Pi <Pl2 9ll
= Ma;i Pi (p„ 92,
Pi 93» 931
Pi Pi
9i3 9ii
923 9îl 938 931
Les égalités
(a=zi,2, 3)
donnent, par suite,
2p:*y.=tx,-.
Multiplions par 9^:1= ^^> sommons par rapport à t, il vient
Comme 4> ^ o par hypothèse, les P' sont proportionnelles aux 9, et les trois déterminants
par suite,
[F{<JX)(TX]i=:0.
Le point ax est donc critique pour Téquation P et le point ûp est le transformé par (7~* d'un point critique de P {voir n*» 33 pour les conventions et définitions).
Ce résultat était évident; un point critique qui n'a aucune relation particulière de position par rapport aux figures essentielles reste évidemment critique et avec le même ordre de polycriticité après trans-
54 SCB LA THtoBU DES fiQUATIOXS DIFFÉIERTIKLLBS.
formation par la substitution Cremona. Cela résulte de la définition toute géométrique donnée à la polycriticité par le théorème du n"* 3.
39. Cherchons maintenant les points critiques de aP situés sur la jacobienne des formes 9/. Soit x un pareil point; s*il coïncide avec un point essentiel r°p'* de o-, le théorème du n'' 35 nous apprend que oc est r{m + 2) critique pour fjVy et il est inutile de s'en préoccuper davantage.
Il reste ainsi seulement à examiner ce qui se passe lorsque x est sur une ligne essentielle iij = o deo—'. Soit alors 5 de coordonnées *,le point essentiel correspondant de 0^'.
o transforme tout point de ci = o en le point unique 5; on a donc
p z=. forme ternaire d'ordre /; vj;,- = » » » / — r ;
/• := ordre de la forme bt et ordre de multiplicité de *.
Alors pour un point ^ de ci == o
9/= p5/, t/cp, .= ^i dm -h Si dp, P; = p"* Pi(s),
Qz={P'<^d(^)=p"'^'[P'(s)s^'\dm.
Pour que Q s'annule indépendamment des dxi et que x devienne critique pour aPy il faut Tune des trais conditions :
cy = p = 0, a? est essentiel pour <t, cas déjà étudié; m = dTn=zOy X est un point multiple de Tessentielle ; [P'{s)sW]=o = m.
Interprétons la dernière hypothèse. Appelons g la droite
[P'(S)SX]:=0.
La courbe ag sera
et les points ct:=:[P'(5)5vJ;] == o sont les points multiples de la rourbo ag, autres bien entendu que les points essentiels de a. Quant
TRANSFORMATION DE L*ÉQU. DIFP. PAR UNE SUBSTITUTION CRBMONA. 55
à la droite gy c'est celle qui forme avec le point essentiel s de o^-* un élément du connexe P.
En résumé, les points critiques de o-P pourront avoir quatre provenances différentes :
I. On aura d'abord les transformés par o— * des points critiques de P;
