III. Les points multiples des lignes essentielles de o

IV. Les points multiples des courbes, qui sont les transformées par (7 des droites, qui forment avec les points essentiels de o""^ des éléments du connexe P.

40. Donnons un exemple de la supputation a priori des points critiques de (jP.

Supposons, pour simplifier, que P possède seulement des points monocritiques et distincts, et que o- soit quadratique. Les points essentiels de (T et 0-"' sont au nombre de trois et les lignes essentielles des droites.

Nous aurons d'abord comme critiques de o-P, les transformés par o-* des m' -h m -h I critiques de P, soit déjà m'-h m -t- 1 points.

Les essentiels de o- sont simples, r = i , et donnent des points ( m -h 2 ) critiques de o-P équivalents chacun (théorème du n^ 8 bis, la catégorie étant zéro en général) à

{m -\- iY — (m-h 2) — i=im*-f-3m-}-i

points monocritiques; soit, pour trois points essentiels,

points critiques nouveaux pour o-P. Les lignes essentielles de (t~* étant des droites, il est inutile de chercher leurs points multiples.

Il y a trois droites qui forment avec les trois essentiels de a** des éléments du connexe P ; chacune de ces trois droites est transformée, par c7, en une conique à point doubles. On a ainsi trois points critiques pouro-P.

En résutné, nous trouvons pour cP

m* -h m -H I + 3 m* -^ 9 jryi 4- 3

= L\m'^-\- lom -i-7=i(2/n-f-2)*-j-2/n-f-2-hi

points critiques, ce qui devait bien être, car, pour /-= 2, la dimension m/H- 2(/ — i) de o-P devient 2/n 4- 2.

^O SUR LA THtoAie M» tQCATIORS DIFFtlOTlIlXES.

Donnons un second exemple, pour une substitution Cremona cubique /= 3. On sdit que, dans ce cas (voir mon Mémoire inséré dans le Journal de M. Jordan en 1886, p. 58), a possède un essentiel double a^ et quatre essentiels simples ajt(k=:i, 2, 3, 4); de mêmeo^' possède un essentiel double b^ et quatre essentiels simples bjt^ A ressentie! a^ correspond comme ligne essentielle de 7 la conique A des cinq points b; h l'essentiel a* la droite b^bt; et réciproquement.

Pour les points critiques de ?P nous trouvons d'abord

m* -h wi -h I ,

points transformés par o"* des points critiques de P. L'essentiel a^ devient un point 2(/?i-i- 2)-uple (35) équivalent à

2'(/?H-2)' — 2(/n-H2)— l = 4'W*-+-l4/îl -h II

oints monocritiques de o'P.

Les quatre points essentiels a^ deviennent (/n-h a)-uples et fournissent ainsi

points critiques pouro-P.

Les lignes essentielles de (7~* n'ont pas de points multiples et il n'y a rien à compter de ce chef.

Soit g une droite qui forme avec une des cinq essentielles de o^"^ un élément du connexe P; la courbe erg est une cubique ayant en a^ un point double ; cette cubique se décompose en une droite et une conique, puisque g passe par hypothèse par un essentiel de (t~* et possède par suite deux points doubles : a^ et un second qui est critique pour aP. Nous trouvons ainsi pour o-P cinq nouveaux points critiques, soit en tout

ce qui doit bien être, la dimension lm-^i{l — i) de œP devenant 3 m +4 pour / = 3.

Je vais maintenant passer aux applications de la théorie précédente, la principale toutefois en devant être faite dans la Section suivante.

TRANSFORMATION DE L'ÉQU. DIPF. PAR UNE SUBSTITUTION GRENONA. 5j

Applications diverses des substitutions Gremona.

ki. Il est évident que Téquation P sera intégrée dès que aP le sera, o" étant une substitution Cremona connue. La théorie qui vient d'être exposée permet souvent de reconnaître, dans une équation donnée, la transformée d'une équation très simple d'intégrable.

Ainsi, par exemple, les équations de dimension zéro et un s'intègrent sans difficulté; cherchons les caractères distinctifs des transformées de pareilles équations par les substitutions Cremona, les plus simples d'ordre 1=2 ou 3, Appelons, pour abréger le langage, s la substitution quadratique et S la substitution cubique Cremona.

^2. Soit P

\ ki Ui =1 o, ki =r const.

une équation de dimension zéro; elle a, comme on sait, un seul point critique et même monocritique k de coordonnées ki. Étudions les points critiques de l'équation de dimension deux sP.

D'après les théories précédentes, nous aurons d'abord le point 5-* k; puis les trois points essentiels de s seront dicritiques pour ^P.

Théorème. — Toute équation P' de dimension deux à trois points dicritiques est la transformée par s d'une équation de dimension zéro et par conséquent intégrable.

En eflFet, prenons les trois dicritiques pour points essentiels de 5~* ; le théorème du n® 36 nous montre immédiatement que 5P' a pour dimension