Traitons, pour ne plus y revenir, le cas où
n = Ai23JH-...H-C'î34},
avecAA'-t-BB'4-CC'r=o.
Il existe alors huit quantités /y, ntj (y = i, 2, 3,4) telles que A, B, . . ., G soient respectivement proportionnelles aux déterminants
m VI m,
de la matrice
PROBLÈME INVERSE DU IMlOCÉDÉ RÉGLEMEMTAIRE. 65
Posons
les 4* étant les quatre formes ternaires dont sont formées les U/'j par le procédé connu.
Un calcul simple montre alors que Téquation différentielle est
dL dM L M
rintégrale générale est L:M = const. ; Il s*intègre séance tenante et n'a plus par suite aucun intérêt.
Ce résultat était à prévoir géométriquement; si A A' 4- BB' -h CC'= o, le déterminant desa^y estnuletlacubatiquei devient un plan (n^iS). Les intégrantes de i sont ses capitales et sont découpées sur i par les divers plans passant par le centre de i, dont l'équation peut être mise sous la forme
(liti-\- l^t^-h . . .):{m^ti-h. . .) = const.,
tjzizo étant le plan représenté par la cubique plane 9y = o. Ainsi, dans la suite, il sera licite de supposer toujours
AA'-+-BB'-hCC'^o.
Tout le problème se ramène ainsi à la construction des équations II de dimension quatre à six points dicritiques, que je suppose toujours distincts.
51. Il est très important tout d'abord de spécifier nettement les diverses hypothèses qu'il y a lieu de faire successivement sur la position mutuelle des six points dicritiques, pour arriver à une théorie complète.
Je prendrai d'abord (hypothèse I) les six dicritiques dans une situalion mutuelle quelconque : il n'y aura ni trois dicritiques en ligne droite ni une conique passant par les six points.
N. B, — Comme quatre des six points fondamentaux de la réglementaire P ne peuvent être en ligne droite [sans quoi toute cubique du système ^ (n° 46) perdrait la branche droite sur laquelle sont situés les quatre points et se réduirait à une conique'\y il est sans intérêt pour mon objet de considérer les équations II, ou quatre des six dicritiques sont en ligne droite,
Univ. de Lyon, III. — A. 5
66 S€U LA TRÉOBie DES ÉQl'ATIO?(S DIFFÉIENTIELLES.
Comme cas particuliers, je trouve successivement les suivants :
Les six dicritiques (hypothèse II) sont sur une même conique.
La conique précédente dégénère en un couple de droites (hypothèse III), les six dicritiques sont répartis trois par trois sur les deux droites. Si, en effet, il n'y en avait deux sur une, on aurait quatre sur Tautre. Pour la même raison aucun dicritique n'est au point d'intersection des deux droites.
Trois dicritiques (hypothèse IV) sont sur une droite; les trois autres sont dans une situation quelconque. D'où le schéma des six dicritiques o, . . ., 5 {fis^. 4).
Fig. 4.
Trois dicritiques (hypothèse V) sont en ligne droite, mais le schéma
ci-dessus est modifié en ce que le dicritique o vient en 6, suivant le
schéma {/Ig. 5).
Fig. 5.
Le point 5 vient en outre (hypothèse VI), sur la droite 24; d'où le schéma (/ig. 6).
52. Avant de passer en revue les six hypothèses que je viens d'énumérer, il convient d'introduire quelques modes de calcul d'un usage continuel dans la suite.
Soit L(^i,a:j), ou L une forme binaire en j:,, ^, d'ordre "k; j'appellerai par la même lettre accentuée L' l'expression L{t\, t\), qui est une forme binaire d'ordre 1 en t\ et /| et d'ordre 2X en ^, et t^; L' ne contient aucune puissance impaire de i, et t^.
Il est évident que deux identités L = Lj et U=: L\ s*entraînent l'une et l'autre.
Soit CiX une forme binaire en ^, et ti d'ordre 2X; on voit sans peine que l'on a identiquement
Lx et Lx i étant des formes binaires en Xi, x^ d'ordre égal à l'indice. Une forme binaire d'ordre impair C2X+1 est identique à
^iLx-^-^îMx,
Lx et Mx étant deux formes binaires en^i et x^ d'ordre égal à l'indice. J)ès lors l'identité entre deux formes en ^,, t^j d'ordre pair C2XH2X,
Hsx^Mx+^i^îMx-i, entraîne deux identités entre les formes binaires en Xy^ et x^
Lx=Mx, Lx-,— Mx-i.
De même, si 62X^^1= HsX-fi,
C2X-M = ^1 Lx 4- ti Mx, H2X-M = ^1 Rx ■+- ti Sx,
il vient aussi .
Lx=Rx, Mx==Sx.
Ces remarques, tout à fait élémentaires, doivent être exposées en détail une fois, pour éviter des rappels et des longueurs continuelles.
Hypothèse L
53. Prenons le dicritique coq pour le sommet g) ou ^"1 = ^2=^0 du triangle de référence {fig. 7).»j7i = o et 0^2 = seront les tangentes menées de w à la conique /• =:= o des cinq points dicritiques o,, . . . , w».
./?j /^^ ^^fî» la poUir^ df' r r o p^r rapport à '«*. Enfin cho[*è'?sOos les [}f§ràfu^*Jrf'^ fl*-' t^-if-T^Uff* fU' i4ïri}n à avoir r = .jr^ — jt^j-j. Le> eoorf\(fUU^'^'< f\ nn ^r^Mht *or la f'*iu\f\n^ ^«^rorit proportionnelle^ à 'J/|» /j/j porir ./,, /^j, r^ r*^*-fM>r-fi' ern^nr. Soit o la forme d'onire cinq
rn /|/j dont rariniilation rJonnf* les cinq dicriliques «,, ...jWj; on H M ni (n" 52)
/?', 7'— formes quadratiques en t\ et ^|, /;, q " )) » en Xi et a-j.
L(^H deux poinlH rie la eonique r:=o situés en ligne droite avec w dllf(>nMit par le signe dn paramètre tiitt; il résulte de là que les deux lorfnes p vl q sont premières entre elles, car, si Ton avait à la fois // - rf n pour r, : .r j convenable, on aurait à la fois
cM II y aurait deux dirritiques en ligne droite avec w, ce qui est contre riiypotlièsc». Enfin aucun des points dicritiques, sauf gj, ne sera en un sommet du triangle de référence, par suite ni .r,, ni œ^ ne divisera ni />, ni 7.
Il est évident que les 'xs points où une courbe de degré s, /(»*!♦ •**«» '^'.i) o, rencontre la conique r = 0, sont donnés par Tannubulon fie la forme binaire en ^,, h,f{f\y f\, /j/j).
Hkmahqi'K. On s*assure sans peine que les expressions
OÙ les d désignent des formes binaires en a?,, x^ d'ordre égal à Tindice, représentent la forme biquadralique ternaire générale et la forme cubique ternaire générale, mais privée du terme en x\.
54. Construisons le système ^ des cubiques planes qui ont les six points dicritiques pour fondamentaux. La cubique générale du système est
kj =: const. arbitr., cp = \^ A^y ©y = o, / = i , 2, 3, 4 ; ^j-=-o passe par le point w et Ton a
les djyy . . . étant des formes binaires en x^ et x^ d'ordre égal au second indice (Remarque du n® 53). Sur les six points où 9y=o rencontre r = o il y en a cinq qui sont les dicritiques w,, . . ., wg : donc (n°52)
où mjit^-h /wy5^,= o représente le sixième point d'intersection.
Sous le bénéfice des explications du n<» 52, l'identité (i) donne, en revenant aux Xi et 072*
dji — mj^p-^mj^q, dj^:=^ nijiX^q -+- nij^x^p, (itj^{djiiXi'hdjiiXi)r-{- mji{px3-hfjx^)-^mji(qXi-{-pXi),
si Si donc on pose
on a, changeant la notation des arbitraires d.
?/ — 2«iy^y»
et l'on rentre dans les notations consacrées (n" 47), tfoù l'on formera
sans difficulté la réglementaire P, avec les notations habituelles,
A}23i-r-Bj3FlH-C{i2Î-i-A'ji4Î-hB'{24Î4-C';24! = o.
11 est facile d'avoir Téquation de la cubatique i définie par les équations 5y=: 9y. En effet, on a aussi yyirnj^y, y^ étant une combinaison linéaire homogène à coefficients constants des ^y, et il faut éliminer
«2?ij ^2> *^z enire
Multiplions par r* et remplaçons rx^ et rx^ dans les deux dernières par j, et /j, il viendra
/•3y3~/-^3./^(j„j2)-hj,9r(7„7î)»
''V*='*'^3-7(ji» v»)-4-7,/?(7„j',)- Mais
et
yk'f'^oc\—rx^.q{y,,y^) — y^[y,y,-\-p{y,,y^)-] = o.
Eliminons TiCs entre ces deux équations du second degré; la résultante sera, après le départ de j,^2(^^^^^)^^^2(^,^^^^)^
Telle est l'équation de i. La nature des intégrantes dépendra évidemment des coefficients des zj dans les expressions des yj,
55. Je passe maintenant à la construction de Téquation II où les six dicritiques sont disposés comme il vient d'être dit. Soit
U — ^HiUi (izz:l,2,3);
puisque le point w,
est dicritique, le théorème du n*» 4- nous apprend que x\ et x\ manquent dans les deux formes biquadratiques ternaires H, et II,; la remarque du n° 53 donne alors
Hg = Co /'^ 4- ( ^1 .^3 -h Cs ) /• -h C:, X.^ -\- fi,
les a, by c étant des formes binaires en x^ et œ^ d'ordre égal à Tindice ; de plus
Il est donc licite de biffer c, dans Ils en écrivant dans H, et Ha a^ et b^ au lieu de a^ — c^Xx^ b^— c,^2, ce qui n'est ni plus ni moins général. Nous prendrons en définitive
(o) I 11^= b^r -h b^x^-\- bi,,
et même
sous le bénéfice de
lllXi^ziz o.
56. Exprimons d*abord la monocriticité des cinq points coi, . . ., wg pris sur /* = o. Pour ces cinq points on doit avoir
r:=zx^l\^ — Hj^^o et r^ujgll, — a?i 1X31=0,
ou
rziza^xl -h a^^s — ^iC4=:o,
r :zzbzx\ -\- b^ x^ — j?i C4 = o.
La courbe «3^3 -h . . . =r o découpe sur r = o le point ^j = ^3 = o, ou /, ziro, les cinq points wj, . . ., wg donnés par
enfin quatre autres points ; la forme binaire biquadratique dont rannulatio];j[ donne ces quatre points peut toujours s'écrire (n° 52) g'i-\- /j ^1^2,-011 gi est une forme binaire quadratique, /j une forme binaire linéaire.
Il vient ainsi Tidentité
c'est-à-dire (n° 52)
a,t\t\- t\c', = t\q' g\-^ t\t\p' l\, et revenant aux variables x^ et xj
a,, — ql^ .r, -h pgx, Xx bz ~ c\ — qgi -f- x^pli,
7?' Sl'R LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
ei par symétrie, /j étant une forme linéaire et g^ une forme quadratique de x^ et .Tj, .
Les conditions de monocriticité des cinq points wi, . . ., wj sont ainsi ( <^% — n^\^i-^Pgu ^u = pii^t-hggtf
La dernière n*étant pas distincte des deux précédentes.
57. Pour exprimer la dicrilicité des cinq points w^, A: = i, 2, 3, 4» 5, j'exprimerai que chacune des quatre courbes
conique : r =:o,
droite : ww^, ^z = px.i-hqxi — Oy i\i!^=zqXi-{- px2=^o
possède en wyt deux points attachés confondus. Cela suffira (n° 10) pour assurer la dicriticité.
58. Commençons par la conique r =: o. En vertu des théories connues (n° 2), parmi les dix points attachés à r = dans le connexe II et donnés par les équations
on ne devra pas trouver d'autres que les cinq points W)t> chacun compté deux fois.
Si donc on remplace, dans Ilr, ^Tj, x^, x^ par t\, t\, t^t^y on doit trouver pour résultat k^à^ ou hi^t^q' -^ t^p'y* Or
il vient donc
= k,t\q'^-^ k.tlp'^-^ '^k^t.t^p'q', c'est-à-dire, en vertu du n^ 52,
— t\ a; — ^2 ^; H- 2c; — ik^p'q',
et, revenant aux variables a?i et ^2,
On tire de la seconde équation du système (3)
a4 = — A-'o/j^H- TW^i, ^4 = — k^q^ — m^2>
m = forme binaire cubique en .r, et ^2.
Portons ces expressions de «4 et 64 dans les formules (i) du n° 56; il viendra
mx^— kQp^z=zql^x^-\-p^u — mx^— k^q^^pl^x^-^ qg^, x^{m ^ qli) = p{kop -{- gi), — x^im -h pli)= q(koq -\- gt)'
Or x^ ne divise pas /?, ^2 ne divise pas q; alors
^o/> -+- ^1 = /Il ^,, m — ^/i —/?«„
Hx, nz= formes binaires linéaires en ^1, x^.
Par addition
qli-^pni-\-pli-hqni^q{li-\-ni)-\-p{li-\- nj) — o.
Cette identité exige, p et q étant premiers entre eux, que p divise Il H- rii et que 7 divise 1%-^- n^^ Cela est absurde, une forme quadratique ne pouvant diviser une forme linéaire; mais cette dernière doit être identiquement nulle, d*où
rii— — II, «1 = — ^2» m=zqli — pl^,
( gi— — kQp-{'niXiz=z^kop—l2Xi, ( g^ = — koq -h niXi — -— koq — liXi et enfin
/Kv ( aj^ = — ^oP^-^ rnxi — — kp^-^ x^iqli—pl^),
( bi,=:— koq^-^ mx2 = — kq^-^ x^ipl^ — qli)-
Portons les valeurs (4) de gi et g^ dans le système (i) du n'^ 56, il
vient
^1 ^3= C4-H ^'2^1 -H Pg^^=Ck — Kp(] H- qh^\—pl\^i,
x^az=^ Cf,-^ piiX^-h qgiz=i Cl,— k^pq -^ pl^x^ — ql^x^,
X^ c?3 ■""" X2 Ct^ — 2 qi^X i "■"" ^ pl^ X^y
(5bis) \ Xiib^— 2qli) — x^ia^— 2pli),
l b^^=:iqli-\- nx^y a^z=:ipii"^ nxi, n = forme quadratique binaire.
74 SLK LA THÉOllE DES ÉQUATIONS DIFFÉBENTIKLLKS.
Portons ces valeurs de a, et b^ dans la dernière du système (i) (n** 56), elle est identiquement satisfaite; la première du système (3) (n® 58) donne
2C4=: ik^pq -^ Xt^-\- x^a^-^- x^h^-=ii^^k^pq -\- pl^x^-^- ql^x^->r nx^x^\^
La façon dont n figure dans a, et b^^ c*est-à-dire dans IIi et D,, montre que l'équation II contiendra le terme
b%XiU^'\- aiX^u^z=inXi{^UxX^-\- a,j7j)H-. . .:=: — /i j? J 1/3 4- . . . .
Mais on a
On peut ainsi biffer n dans ai et b^ à condition d'écrire YLi-=.c^r -k- nXxX^-\- nx\-\- , . . = (cj — /i)/* -h. . ..
En un mot il est licite de faire /i = à condition d'écrire Cj au lieu de Cj— /i, qui est indiffèrent, Cj n'ayant pas encore été déterminée.
Si Ton tient compte des expressions de a^, 64, «j, ^3, C4 de* systèmes (5), (5 bis)^ (6), du présent numéro, il viendra
t:3=z cor^-h c^r- -\- k^pq -{- pl^x^— ql^x^,
Si enfin l'on pose, comme aux u^^ 54. et 57,
^3=pXi-\-qXu r]^^z=:qx^-^ pXi,
il viendra, sous le bénéfice de V UiXi=io,
l TTi = «2 r — A'o />- 4- 2 /i ^3,
( 7r3=Co/*'4-C2/'-+- A'o/>7 + /i4^4 4- /j^'a-
59, Appliquons maintenant les considérations du u^ 57 aux droites menées de w aux cinq points dicritiques.
Soit MivT', 4- u^x^^zo une droite quelconque issue de w; les quatre
points allacnés à la droite dans le connexe II sont donnés par les
équations
f/,.r, 4- //j.rjin /i,n, 4- Ma 11.2^= o.
L'élimination du paramètre m, : wj donne
pour courbe lieu des points attachés dans le connexe H aux diverses
droites issues de w. Les droites menées de w aux autres cinq points di-
critiques louchent en ces cinq points la coiirbe \^=zo, puisqu'il y a
deux points attachés confondus. Ainsi, pour ces cinq points, on a à la
âA fois A3=:;t-^ =:o, puisqu'ils doivent être situés à la fois surA3=:o et
sur la polaire de As^z o par rapport à w.
On a ainsi pour ces cinq points, tous situés sur la conique /* = o,
A3 = ^s ( oTj Ui — ^1 ^3 ) + ^j «4 — Xib^z^z o, ^A,
dxi
= ( ^2 aj — J7, 62 ) ^3 -H P^i ^t — (jh ^^1 ^= o,
SOUS le bénéfice des formules (5 bis) du n* 58. A3 est forcément nulle, les cinq points étant monocritiques déjà
(n<» 56). Portons dans -r— ^5 t\y t\y t^t^ pour x^, œ^, Xz* il viendra
d'après les notations du n^ 52.
dk Les deux courbes /r^o et -r— ^ =:o se coupent en huit points, les
cinq points dicritiques et trois aulres, dont la position sur r = o est donnée par l'annulation d'une forme binaire cubique en ^1, t^, que l'on peut toujours écrire (n^ 52)
/i,, h^^z formes binaires linéaires.
La position des cinq dicritiques étant donnée par l'annulation de
^ — txq'-^t^p^
on a l'identité
= p'h\.el-hq'h',.t]-i-tittiq'h',-hp'KJ,
'/r fy*t # m». *« 1*» ».:••«•• «-a-
'/ // \ituu^' ':ul/i'jU'' ifitiif'tti' t'U r,. r,.
^J^^ Vat'Ofi*. tfHf'ifiU*tt'4ftt H^H'^i* i\i'^ coriridératioris du n*57 appliquée? /lo* d<'U« t'itUi*\ité*p \A7iUi**' '!/, « o If l '^4 -n o. Remarquons qu'il n'est pas )hi^ï^\ti*u*iiSlU* tUt ii'niU*r ïtÈiw et Tautre courbe; il suffirait de traiter 'y^ tf K^'MbfffM'nf \mUi\nt* la considération de trois courbes (n** 57 t*\ Ui) niiHWi pour «nnurer la dicriticité des cinq points w^., Ari=i, ...,5, <'l qu<î uou>» «vofiH i\Olh considéré pour chaque point &>* la conique /' o l'f hf <lrolf« /,»A ( ""• RH et 59).
Toiifej'oU je MiU tniiter h la foiH'^, = o et 4** = o ; seulement cerhiliM^M roiirlilioiiM ne trouveront natisfaites identiquement.
M<« rM|HM'l/iiil iiii n"57,je voîh que parmi les 3 (4 + 3 — 1)= 18 points HlhirliC«>» /i lii (',Mhir|iH* plane ^.^ -. o, intersections des deux courbes
IMMIM (lt»voiiK IroiiNtM' los ('ln(| points coi, . . ., w^, chacun étant compté diMiH roi», SI donr eiiln» 4*» <> *** ll^a"^ j'élimine ^3, le résultant, qui >«iM'ii uno lornie hlnaln^ (mi .r,, .ij, devra <^lre divisible par A*, A =: o oliinl lit Innut^ hliiulrt^ troniro cinq dont Tannulation donne les cinq tlrniloH toto4, A I, . . ., 5.
Il \^^\ Toollo d'«Nolr oxpllritoment A, car c'est aussi le résultant de ^1 y o ol 4 1 ^^ qiuuul ou (Mimine .r^, puisque tùk est un point commun \\V' ilV) t\ ro^t deux eubitpit^s planes, Vlnsi
A '* A 7^ ^1 /»*.rj.
61. Me reportant aux formules (7) du a** 58 et prenant les dérivées
de ^3 = />^3H-7'37,, il vient, /?,=: -r— > •••> ^2=—^, pour n4'3, l'expression
H- ( ^j /• — /Tq <7* -+- 2 /2 4^4) (/?2^3 4- ÇTj J7, )
