Ainsi on a finalement

p^a^iU. -+■ Rx^Xt{qli-\- pl^) — ipqii ^ o = K^A, q^x^VL -\-Rx^Xi{qlx-{- ph)— 2/>^A = o = KjA,

Kl, Kj z=: formes binaires quadratiques.

Multiplions par^'^r, et —/?^j7î et ajoutons; après départ du facteur A \\ reste

^ ^ ( Rj?,J7,(^/i+/?/j)— 2/?7A=:/?-J7jKî— çr-J^iK,, ^O) \

{ q[lx,RxyXi — ph + 7^iKi]=:/?[— /j.R^ri^Tj-h ^/i -h/^Kj-r,].

Comme p eiq sont premiers entre eux p divise liRxiX^-h qxyKi ou /iRa7,-i- qKi et de même q divise — /jR^^i+Z^Ki,

Mais 2R= qPi—pqi • donc, ainsi qu'on Ta déjà vu du reste,

— Rj7î=/?7i— qpi, R^i—pqi — qpi'

Enfin de là résulte que

q divise Ka — /j^*, p divise Ki-h /i/?,.

Je pose (/Wo, rto = const.)

et la relation (o) devient

(i) —2h^=z m^qx^ -4- n^px^ -\- q^ /, vT, -^PtltX^,

et Ton voit enfin que

Remplaçons h par sa valeur tirée de (i) dans les égalités (8) du n° 59. On aura

l 'Tiaz^qli—moqXi'-nQpXi'-qiliXi—piliXi, \ Xibi=zpli — m^qx^ — n^px^ — q^lxOCi — p^l^x^.

Écrivons explicitement les deux formes linéaires binaires /j et /j, * * (A, B,A', B'=:const.).

Pour que les seconds membres des égalités (3) soient divisibles respectivement par x^ et x^ il faut que

mo-f- A'= /loA = o.

Alors il vient finalement pour Téquation

n = iii Wi -h . . . = o,

IIi^:— A-o/>*-Hajr-h2iJ^3(A'^i-i-B'^2), \i^ — —k^q^-^b^r-\-i^i,{^x^ + kx^).

avec

2ajr=:2A'^2^i4-B'(^2'3:^2— ^i^i) — 2B/?j^i-+- A(/?i*ri— /^jo^î),

2^2= 2A/?i^2-+-B(/>i^i— /?2^j)— 2B'^i;r,-H A'(72^î-H^i'^i)' C2 = iA:o(^/>i— /?7i)4-/?i(A'^i4-B'd:',)-h^j(B^i-+- A^î).

f^LM LA TIlCOBIK M9 ÈQtAliO^» MfriM^TIELUS.

Hf^m\A^r(>ni^ par c» par i: el X\, |>ar il\ puis érrivons II en groupant tuMtfnlAe lers lermfï* en A, B, C, A , B', 1^'; il viendra

A' lttir(7,.^,— 7,jr,)

-A M-jr,(2'Li4- r/>,)

Si nous faisons usage du théorème d'Euler sur les fonctions homo- <ènesy de la relation

et des identités

SI nous posons

t\fi=x^r, 4;j=j7,r,

comme au n° fyk, on voit que

-3II = A;23J4-Bi3iiH-C|i2i4-A'ii4Î-+-B'i24|-hCi34î, jy j désignant (pour e,y = i, 2, 3, 4; « = *» 2, 3) l'expression

Ut w, Wa

^yi ^'yj ^ya

^ia =

âxoL

Vax un mot l'équation II est identifiable avec la réglementaire P construite au ïi° 54. La connaissance des A, . . . , C entraînera celle des a/y (n^" 48, 49 et 5'*), par suite celles des yj (n° 54) et de la cubatique i.

On appliquera alors à la recherche des intégrantes de i les diverses méthodes géométriques exposées dans la deuxième Partie du Mémoire. Notamment l'équation traitée dans le dernier Chapitre de la troisième Partie du Mémoire est un cas particulier de l'équation II que nous venons de construire; nos méthodes actuelles sont une généralisation de celles que j'ai employées alors.

PROBLÈME INVERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE. 8f

Hypothèse II.

63. Les six points dicritiques sont sur une môme conique r = o. Prenons pour point «(a:, — a-j— o) {fig^ 8) un point quelconque du

plan, pour x^^=io et;rji=o les deux tangentes issues de o) à la conique, pour j:3=r o la corde de contacl; un choix convenable de paramètres de référence montrera qu'on a pour équation de la conique r

OC - — • oO •.% """ tX j JC ^ O^

et les trois coordonnées Xj, o^j, x^ d'un point de la conique seront proportionnelles à t]^ i], t^^ t^. Soit alors S la forme binaire en ^i, t^ d'ordre six dorrt l'annulation donne les six points dicritiques w;t (^= i> 2, . . ., 6); on pourra toujours (n'*52) écrire

p étant une forme quadratique, q îine forme cubique binaire, en j-, et «.2^2 •

64. Construisons d'abord le système ^, les formes cubiques ternaires (py et ^j et la réglementaire P (voir^ pour ces notations toujours les mêmes, le n° 54).

La forme cubique ternaire (^j peut toujours (remarque du n'^SS) s'écrire (tes d étant des formes binaires en ^,, x^)

9y =: djQxl -\- djixl -f- dj^xs-^dj^; Univ. de Lyon, III. — A. C

82 sut LA THÉOIIB DES fiQlATIO>S DIFFÊABRTiKLLES.

la forme crordre six en /,, t^

dj,t\t\-\-dj,t\t\-^dj^t,t^-^d'j,

donne, par son annulation, les si\ points r — 9y=o, c'est-à-dire les six points (sik et doit être divisible par 3; ainsi, on peut poser kj = const.

dM\t\ -h d'j, t\t\ H- d'j,t,U-^-dj^^kjd — kjq'+ f^jtxt^p'y

d'où (n«52)

dnt\t\-^-dj,r=.k'jq\

dj9t\t\-^d'j^ — kjp\ et, revenant aux variables x^ et x^,

dji Xi X2 -h dj3 =r kj q, dj:^ = kj q — dji x^ .r j,

djQ Xi x^ -+- dji = kjp, dji =: kj p — dj^ x^ j?j,

Oj — dj,ix\ -4- dji x\ -h kj (px^ -+- ^ ) — dj^XiX^x^—dji x^ x^ zzzdjoX^r -ht/yi/'H- kj{px^-^q).

Ainsi 9y est une combinaison linéaire homogène des quatre formes ternaires cubiques

x^Tf x^Py x^t'y px^-\- q^

que Ton peut prendre respectivement pour

On formera alors,, sans difficulté, la réglementai ref P (n*" 54)

o=iAi23J4-Bi3i{4-Cîi2JH-A'{i4i + B'|24|+r/|34!,

les A, . . ., C, \ij\ ayant la signification habituelle; le calcul effectif des \ij\ sera même grandement facilité par la symétrie, puisqu'il suffira de calculer j 28 j et j ï4 j, puis de permuter les indices i, 2, 3, laissant fixe l'indice 4.

Le calcul de l'équation qui donne la cubatique M est aussi très facile; si l'on pose 5y=:{py, on aura aussi 7y=i<^y, les 7 étant des combinaisons linéaires homogènes à coefficients constants des zj.

Il viendra alors

PROBLÈME INVERSK DU PROCÉDÉ RÉGLEMEI^TAIRE. 83

d'où

Ainsi i aura pour équation

65. Je vais passer maintenant à la construction de Téquation II qui admet les six points wjt du n<* 63 pour dicritiques.

Les trois formes ternaires biquadratiques II/, sous le bénéfice de la remarque du n° 53, s'écriront

Ils = ^0 '•* -H ^'(Ci Jo^ -^r c,) -+- Cs-Z-j -f- C4,

les «0» • • • > ^* étant des formes binaires en .r, et ^2, d'ordre ég:al à Tindice.

Les six dicritiques sont sur la conique /riroet, par suite, pour

chacun des six, les termes en /•* ne donneront rien ni dansn = Vlli^//, dans dVLy ni rien dans les deux identités

n r=i o, <ifn = o,

qui définissent la dicriticité; ainsi ao, b^^ Cq ne joueront aucun rôle dans l'analyse qui va suivre; pour abréger les écritures, je les supprimerai, sauf à les rétablir en fin de calculs.

Remarque, — Dans les formules (o), on peut d'abord, sous le bénéfice de \^ Ui Xi z=: o, faire ^3=0, à condition d'écrire a,, et ^4 au lieu

de «4 — Cs^i et 64 — ^3^2, ce qui est indifférent, «4 et 64 étant encore indéterminées. En second lieu, l'addition de m^x^j niQX^y m,^,, mjXj, m^Xi, m^Xj^ à a,, ôj, aj, Z^», «3, 63 respectivement (les m étant des formes binaires en Xi et j?î d'ordre égal à l'indice) ne modifie pas

l'équation, sous le bénéfice de^^z/^r,, caralors ni//,H- Ilji/j s'accroît

♦ i de

84 SUR LA THÉORIK DES ÉQUATIONS DIFPÉRENTIKLLKS.

OÙ Ha «3 s*accroîl de

II3 devienl ainsi

au lieu de

ce qui revient à changer les formes indéterminées encore Cq, c,, c^, C4.