En vertu des explications précédentes, nous écrirons

ni= (aiJ^jH- rt2)/--f- «3^3+ «4, IIî— (6,j?3+ ôj)rH-. . .,

IIsizz {c^x^-h Ci)r -}-c^.

Il faut remarquer d'abord que la conique r = o est une intégrale, car, au lieu de 2(4 + 2 — i) = 10 points attachés, elle en possède douze, deux en chacun des six points dicritiques; Texpression Ur est divisible par r et devient identiquement nulle si Ton remplace j^i, j?2, j?, par t]y t\, tiy ^j. Or on a

et Ton a (n«52) Tidenlité

tl («; t^ ^, -h «i) H- ^î ( Ô3 ^i ^j -h b[)— 2 ti t^cl = o, qui se décompose en deux

et, revenant aux variables ^, et j?j,

/ .r,Z?3 4-^*2«3— 204, (1) J — ai-jâr^^z J7i^4, d*OÙ flr4=j7,t/3, ^4 = — a^je/s,

( 6^3= forme cubique binaire en ^1 et j72«

Exprimons maintenant la monocriticilé des six points

wa(A = i, . . ., 6).

PROBLÈME INVERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTÀlHE. 85

0» a, pour chacun d'eux,

Considérons d'abord la courbe d'ordre cinq

Aj z=z jjjlli — cTi 1X3 =z o ;

les six points 6)^- sont compris parmi les dix où la courbe est coupée par r=:o; les quatre autres seront donnés sur la conique r=:o par l'annulation d'une forme binaire biquadratique en ^i, tz, que l'on peut toujours (n° 52) écrire

(A^^^rziconst., / = forme linéaire en j7,, ^,), en remarquant que les deux courbes r = o et Aj = o sont tangentes en ^i =: ^3 := o ou ^1=0,

et, si l'on tient compte des formules (i) ci-dessus, il vient et

d'où, revenant aux variables x^ et j:„

d^—kç,q-^ply

Multipliant la dernière par 2 et tenant compte des formules (i), nous avons finalement le système

\ x^a^ — x^b^^=.iql-\- ik^px^x^.

. La considération de la courbe

Ai^XjII, — x^W^^no

ne donnerait rien davantage.

Les systèmes (1) et (2) donnent ainsi les conditions pour l'existence de l'intégrale /• = o et la monocriticité des six points w^i.