SLR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

67. Pour exprimer la dicrilicité, je ferai application des principes posés aux n°» 10 et 57 pour chacun des six points w^t

à la droite wwa,

à la cubique plane ^^iipjc^-^ <y z^o.

Ces deux courbes suffiront, car la conique /• = o passe déjà par les six points, est une intégrale et possède, par suite, deux points, attachés en Gi);t, ayant tous ses points attachés.

Pour traiter les droites ww^, je verrai, comme au n*» 59, qu'il suffît d'exprimer que les six points sont sur la courbe

-^— ?i=zO, où' Aa^J^jIIi — OCxHi,

/■(...) H- ix\{x^a^ — -'^'i^i) -H 2J73(j?,a, — x^h^)-^ x^a^ — x^ b^.

Tenant compte des formules (i) et (2) du numéro précédent, j'obtiens

2 ^3 ( 07j «2 — X^h^) -\-iql -^^ 2 k^pX^ Xf.

âA Si je remplace, dans -r— ^5 o-j, x^, x^ par ^J, ^*, ^i^j, j'obtiens une

ox^

forme binaire en ^1, t^ d'ordre huit, qui doit être divisible par

dont Tannulalion fournit les six points w;t> et donner pour quotient une forme quadratique, qu'il est toujours licite (52) d'écrire

, (Arjjzzi const., m =r forme linéaire en o:,, x^). Ainsi

tUl(tla\- t]b\) -^ e,t^(tla'^- t\b',) -h q' l' -^ kop' t\tl =^{g''hp't,t,){m'-hk',t^t,) — fj' m' -^ k'^p' t\t\^ t^t^{k'^q' -\- m' p').

d'où (52)

PROBLÈME INVKitSE DU PROCÉDÉ RÊGLEMEN TAIRK. 87

el passant aux variables xj, x^

x^œ^{x<ia^ — œ^bx) -^ ql -\- k^px^x^ z=z qm H- k'^pXi x^ -^ x^a^ — x^ b^ = k\ q -f- mp.

Comme q est premier avec x^x^^ ridentilé exij^e que x^x^ divise la forme linéaire m — l; cette dernière est alors identiquement nulle et

mziz l, x^ai — Xibi=.{kQ — kQ)p,

d'où le système

( x^a^-- Xibi:^:^ k'^q -i- Ipf

{ x^a^— Xib^— (k'^— kfi) p.

Remplaçons dans les seconds membres, en vertd du théorème d'Euler,

q par H^i^i-^9i^i)f P par kiPi^x-^ Pt^±)^

11 viendra

x^a^— x^b^— ^k'Q{qxX^-^ q^Xi) -^ {lip^x^'h- p^x^),

•^'z[«i — ï(^'o — kQ)pt] — x^[b^^ i( A-;, — A'o)/>i]i d'où

^1 = — \P\{k'^ — A-o)-+-^0'^2> [ /Wo, m,= formes binaires en x^ et x^ a^ — ^k'^q^ -\-\lpt -h /n, j?,, ( d'ordre égal à l'indice.

bi — — ïk'^qy— [Ipi-^miX^, )

Il est licite, d'après la remarque du n° 65, de biffer /Wq et /wj, à condition de modifier convenablement Cq et Cj, qui ne figurent pas jusqu'à présent dans nos calculs.

Enfin la seconde des formules (2) du n'' 66, traitée par le théorème d'Euler, est

x^a^— Xib^^z^liq^Xi -h qt^î) + ik^px^x^,

^ii^i — î hi— k^pxi) =: xi{bi-h lqi~^k^pxi).

el m,= forme binaire quadratique

bi^=: — \lqi— ktipx^-\- m^x^.

Tenant compte de la remarque du n° 65 et de la première (*) des égalités (i) du n** 66, je vois quMl est licite de faire m, = 0, à condition de retrancher m^x^x^ de c^; or il est indifférent d'écrire, dans ce qui suit, c^ ou C4 — m^x^x^.

En un mot, on a le système

(4) I a^^\k'^q.^{lpr, — bi=^ ^k'^q.-h {Ipt,

\ a^^^V^i-^^oP-^'i^ —ài=liqi-^kopXi.

68. Exprimons que la cubique plane, ayant un point double en w,

^ — px^-hq — o, a deux points attachés, confondus en chacun des six points

(ok{k=zi, . . ., 6) ou r=:^=io, lesquels sont découpés sur ^=10 par les six droites issues de w

A = <7* — Xi Xip^,

Comme au n° 60, je vois qu'il suffit d'exprimer la divisibilité par A* du résultant des équations en x^

o et

nt = 2n.S = °'

Or on a

ou

(Pi^i-^g%) [(^1^3 + ^î)''-^ ^8^3+ ^4]

p[{CiXz-i-Ci)r -hcj, ' dp

Multiplions par p^ et remplaçons px^ par la quantité — q égale en

( ' ) La seule condition à laquelle c^ soit encore assujettie.

vertu de 4* =^ o. Alors p^r devient A. Le résultant cherché est donc

{pç)i='PÇi — gPu (P9h = PÇi — ÇPi'

Multiplions par g et remarquons que ^*zr: A 4- /?*^i^,; il viendra, après avoir rennplacé a^ et b,, par œ^d^, et — ^jt/j et d^ par /cq^ h- /?/,

g^—p^gA{c^p — Cig),-hp^gc^

Mpg)i i^iPg — aig^-hkop^xi — p^ai)

^(pghi^tpg — J>ig^ — ^op^^t— p^ b^)

{pg\p^x^ {gl -f- k^px^x^ — j^jûrj)

— {pg)%p''^%{gi'^^QP^i^Ti-^^\bz).

Mais les formules (2) du n<* 66 donnent

x^a^ — X'^b^z^L'àgl-if ik^^px^x^;

d'où, en vertu des formules (i) du n° 66,

gl-^ kQpXyX^— x^a^ — — \{x^az-{- x^b^) = — Cj, — gl— k^pxxX^—x^b^^=:i — \{x^a^-\' x^b^) = — C4.

Alors, dans gQ, Tensemble des termes où A ne figur-e pas en facteur est, après départ de /?*,

pgc^'-Ci,[(pg)iXi-h {pg)^Xi] ou zéro.

g^ perd donc une fois le facteur A, ce qui était à prévoir, les six points (ùjk étant monocritiques déjà, et il reste à montrer que la forme binaire

^'— ipg)d^iPg — (^ig^—<^iP^'^f^op''^i]

+ {pg)d^ipg — ^ig^— hp^ — k^p'^^t] -^p^gic^p — c^g) = o

(ou est divisible par A).

Remplaçons, dans £2', a,, «j, a^; ô,, b^, 63 par leurs valeurs tirées du système (4) du n<» 67, il viendra

{p9)i[Pi{ig^ — HK — ko)P'^i-^i) -^g2(iKq — i^p)]-^P'{(^ig — (^iP'^i'^i)

iPÇ)%[Pi(i9^—HK — ko)p^i^î)-hgi(^k'^g — yp)]^o.

go SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIOI^ÏS DIFFÉRENTIELLES.

Mais, si Ton désigne par 6R le jacobien p^q^ — P\q\, on aura identiquement

Pti pg)i— Piipgh^ ^^Pf (/^{p(])\ — qdp(i)t—^\\q,

et la condition précédente devient

p^{Ctq — Cxpjo^x^) -f-3/?[/7/-+-/)j7,Xj(A'o— X:i)]R

-+- 2^R(A'oÇr^ ilp) =o.

Remplaçant </* par A ->r p-x^jL^^ p disparaît une fois en facteur et il reste Tidentité (i)

p{c%q — c^px^œ^) — Kql-\- R/?Xi^î(3Ao — /J,) =01=: — KA.

Ki= forme linéaire binaire en jti, x^.

Je dis que 3Ao — /:^=:2A:"=o. Supposons qu'il en soit autrement. . Remplaçons, dans la dernière relation, A par q-—p^xyx^y elle devient, en tenant compte des identités, faciles à vérifier,

(2) . Rj7i=z J(3çr/;2— 2/?7j), —'^x^—\(Zqp^~ipq^),

q{, . .) -h />*[(ci-+- k)x^x^-^- ^k^q^x^— ^^k"q^x^'\ = 0.

q étant premier avec/? divise la quantité entre accolades, c'est-à-dire en vertu du théorème d'Euler les deux expressions

^t[{Cx-\- k)x^—\k"q^'].

q est premier avec x^ et x^ et est cubique; les quantités entre crochets ne peuvent être divisibles par q, étant quadratiques, sans s'annuler identiquement; il vient

x,{c,+ k) = \k"q^, jr>^(ci-+-k)=-lk''qi.

Multiplions par x^ et — Xi et ajoutons ; le théorème d'Euler donne

2 qk":=i o, k"z=z o. Cl -4- A: =z o.

Alors il reste simplement pour déterminer Cj et Cj l'identité suivante, où l'on a remplacé — k par Cj, ainsi qu'il convient, dans l'identité <i) et faitit''=o,

p{c^q — CipXiXi) — Rql — Ciq'-h c^p^x^x^^rz o

OU simplement

Écrivons explicitement la forme linéaire binaire /,

/ = A'uTi 4- B'o:,, A'i B'= const.

Faisons usage du théorème d'Euler et des identités (2) ci-dessus, ridentité (3) devient

d'où

6c,/? = 6ci7 -h A'(3^/?,— 2/?^,) — B'(3qpi — 2/771) ; /?(6c2-h aA'^î— aB'^i) =17(601-1- 3 A'/;,— 3B'/?i)y

et, si l'on remarque que p et q sont premières entre elles et quadratique et cubique respectivement, on verra que les deux crochets s'annulent.

Ainsi

Ci=i(B>.-A'/>0, ^î^i(B'7i~A'7'),

( A:o=:3A:o, puisque 2k"^=kQ—3k'f^=io.

69. Les formules (i) du n*> 66, (2) du n° 66, (4) du n« 67, (4) du n° 68 déterminent les formes inconnues d^, C4, a,, a,, «j, 6,, 6j, 63, c,, c„ et les expressions 11/ se trouvent complètement connues à l'aide de Pf q et des trois constantes A', B', ArJ,, auxquelles il convient d'adjoindre les constantes «o» ^o> ^0 ou — A, — B, — C, puisqu'il convient de rétablir (65), dans Hj, H,, Ha, les termes en r*.

Tout cela fait, on voit sans peine que l'équation II s'écrit en définitive, écrivant C au lieu de A-J,,

- 3n = A I 23 j -i-.B j 3i j -h C 1 12 } -h A' ; i4 ! -H B' j 24 i + C { 34 I = o, les ! ij \ étant formées de la façon connue

li^

avec les quatre formes

^^ — x^r, ^^—x^v, ^3=j:,/-, ^^—px^-^-q.

les mêmes qu'au n° 64. Ainsi II est identique à la réglementaire P construite dans ce numéro-là.