SUR L'A THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

On remontera par les procédés connus {kS, k9, 64) aux formes Oy, aux expressions jy et, par suite, à la cubatique é. Il ne restera plus alors qu'à appliquer à £ les diverses méthodes exposées au Mémoire pour la recherche des intégrantes.

Hypothèse tll.

70. Les six points dicriliques sont disposés trois à trois sur deux droites, suivant le schéma.

Nous prendrons :

Pour j7i=ro la droite 4^6,

les six points étant i , 2, . . . , 6 ou w^t, A: =1 1 , . . . , 6. Ils sont déterminés par les équations

a?i = /;^3=o et j?j=: ^jcjizz o, p ^= forme quadratique binaire en a?,, œ^,

/^ :=: a? 3 -H 2 ^32 ^2 "^3 "^~ jP22 "^ 2 >

71. Construisons le système des cubiques planes qui admettent les six points coa^ pour points fondamentaux. Soit Oj=^o une courbe du système; elle passe par les points ^3 = ^,^2 et, par suite,

H~ '^'3 (^33 "^3 ^~ ^31 «^3<^i "+■ Cl^^iV^JT^-h Cl li X i ~\~ Cl^^X^ ).

La courbe passe par les quatre points j?,r=^ = o et x^^i^p =o; par suite,

«33-^3 -h «sr^3«2^S -f- ««^j = «33/? ;

ainsi 9y est une combinaison linéaire homogène des quatre formes cubiques ternaires

que l'on peut prendre respectivement pour les quatre 4^7, avec le rôle habituel. Les ^j diffèrent de celles de Thypothèse II, parce que la conique r = o a dégénéré en un couple de droites. La réglementaire P aura la forme habituelle

î j 23 j ^= ^1 J?j Wi, j j 01 I =: OTj J:?5 Wj, 3 j 12 I = J7j J?j W3,

= «l^î(f^ — /^2-3?î)— "2J^l^2(2ft — /Xl^i),

, du. du.

sous le bénéfice de \^«,j:/ = o.

Alors, au facteur numérique près, oh a, pour la réglementaire

P = PjMj -h. . . = 0, P, = B j:?Î j?J -h ^i[— A'j-i(2/x — fz,^^) H- B'^,( IX — |Ji,^,) — 2G'^3(/^ — f^i-^i)],

Jr 3 — \u OC . «2/ A . . • ,

P = k.x\x\ux -+- Ba:J^2"ï"+" ^Jf^\^\u^

UiXiç(A'xi'i- 2G'j?3) -+- W2'^2P(B'^2 — ^C'^rg)

d/ j «3^2 tt j ( • « • ) "T~ X^ X2 '^iv* • .))

ce qu'on voit aisément par un calcul direct.

L'équation de la cubalique £ s'obtient par le procédé habituel

9i ^l'R LA TBtOMC DES £QCATI05<» DIFFCEEXTIILLES.

(54, 6'»). On \}o>e yj— ^y, rV>l-à-dirf

La cijbatir|ue / a pour équation

72, Passons à la conslruclion de Téquation IIz=: ViI/m,- de dimen-

sion quatre, ayant les six points dj^t pour points dicritiques.

l)*abord les deux droites j^jrzzo et j:-, =io ont six points attachés dans le connexe II au lieu de quatre, savoir deux en chaque dicritique, par définition de la dicriticité. Ces deux droites sont ainsi deux

intégrales, et H, =:nj:i izi^'ll/ -r-^ est divisible par ^,; de môme

divise IIj. On peut donc écrire

Hi^^zx^x^a -h Xili, 112^= j^ioCj^ -h jTjXj, a, ^ =- formes ternaires quadratiques, Xi= forme cubique binaire en jtj, .r,, X,~ forme cubique binaire en x^, x^,

La droite 0^3—0 passe par deux points dicritiques x^^zzx^x^; elle a donc ses qua^tre points attachés confondus deux à deux avec les deux dicritiques; il faut avoir, par suite,

Il3=Z 11^78^== X %{.,,) -^ CqX\x

ou simplement

II3 -HZ CqX ^ X^^

faisant iisaj^e de ridciitilé V w/.r/=:ro.

PROBLÈME INVERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE. qS

Je prendrai ainsi

(i) < nj~»r,j?2^ + '^'j^2»

73. Exprimons la monocrilicité des six points wa; pour j?, = 0, les formules (i) du numéro précédent donnent

et comme les points j?iz=/?=i0 sont monocritiques, on a >it = o pour p=zo}p divise Xj et Ton a

).2 = 7/7 ( ).„ j:, -f- X, j ;r 3 ) , et de même

(Xu, X22Î . . .) = const.

Alors il vient, en posant

a, (3=11,2,3, a3ip=apai' ^ap=^pa»

n = 2ai^x\x\ Ui-h 2 bifxla^l «j-h Co-cJ ^l M3

-H f/jj", J72(a — 2a,2jr, ^,) h- u^XiX^{b — 2^,,jri j?i)

Considérons maintenant la réglementaire P construite au n** 71; elle a bien les six points co^: pour dicritiques; il s'ensuit que l'équation n = o aura les points co^ pour dicritiques, en même temps que réquation n'=II— -P^o les aura elle-même.' Je construirai donc l'équation H'^^o, et il suffira d'ajouter P pour avoir l'équation n=zo.

Nous reportant au n° 71, nous voyons qu'il vient

II' = n — P =:^î^| W| (2âr,2 — A) + x\x\u^{ih^^—' B)

-i- œ\x\ u^ic^— C) -h UxXiXi(, . .) H- u^Xi X2{. . .)

4- «iJ?i7[(Xil— A')Xl4-(X,3— 2C')J73] -h UiXip[(l2t—B')Xi-+-(l23-h2C')x.i].

Nous pouvons déterminer les six coefficients A, . . ., C de la régie-

SUR LA THÉOBIB DBS ÉQUATIONS DIPPÉRENTIBLLES.

menlaire P par les conditions

0= 2^,2— A = 261Î — B =: Co — C = ).ii — A'rn A,g — B',

Alors

X,a— 2c'='ki3-h 2c'== ko.

W=.^U:ii.,

W\^i x^x^a-^ k^qx^œ^j H\^z x^x^b -\- k^px^x.^, 11^ = o, a eV b étant les formes quadratiques