Construisons H
On vérifie sans peine que les six points w^t sont déjà monocritiques. Exprimons la dicriticité de x^^= j7,=:o. Pour ce point IV est nulle pour iii quelconque et dW devient, écrivant sous forme de déterminant et mettant {xdx)i pour ui,
dVL'
dxi o ax^ dxx
dx^ dx',
dm
aœ\ dœ, dx,.
La dicriticité exige que a =10 pour ^3= j7j = o, c'est-à-dire a^^^^^o. De même la dicriticité du point j?3 z= ^r, = o exige ô,, = o.
Ecrivons que dW est identiquement zéro pour les deux points dicritiques x, =/> == o. On a encore
dW
dxi o (x^a -h k^qx^) dx^ dx^ X2 Xi b dxi 4- ko x^ x^ dp
dx.
et, après départ du facteur û^r,,
dn'^= — Xi x^{b dx^ -h kQ x^ dp ) h- (0:2 a -^ k^^qx^) {x.^ dx., — ^ x^ dx^ ) ,
PROBLl«B INYBRSK DU PROCÉDAI RÉ6LBMENTAIRE. 97
Égalons à zéro les coefficients des trois diflférentielles, on aura pour = 6 =:^ja -h kç^qx^ — k^œ^p^œ^z^ixxa H- kQqx^-\- koX^p^x^,
Ainsi la conique 6 = passe par les deux points
Xxz=ip = 0, h z=zib^xXiXx-\- b^^p et
La symétrie donnera aussi
Les relations (o) donnent ensuite
oz=zXx{ia^t^'iX^'\-an,^q)-{- k^qx^— k^x^p^Xi HZ J75 ( 2 fl 32 jjj a?3 -H dszÇ) ~^" k^qx^-j- k^x^p^Xy
pour d7, ^= jo 1= o, et
*^î V 2 ^3Î «^4 «^3 H~ ^88*^3) ~^ ^0^3 ^0*^3pl^% I
I divisibles par/>.
J/j ( 2 Cf 32 .272 *^3 ■^~ ^33 «^3) "^ ^0*^3 ''^0 «^3 /^3 «^3 /
En vertu de Tidentité '^p^^Pt^)^-^ p^x^, il suftira que la première expression soit divisible par/?;/? divise donc, après départ de x^^
koxl H- a:2^3(«33— 2^0/^32) -H 2(a32— kop^^), el cette expression est identique à k^p; cela donne, en identifiant,
(i) (et, par symétrie,
l ^33=4^0^31» 2^?3ii= 3A-o<7ii.
On a vu, de plus, que
Univ. de Lyon, III. — A. • 1
98 SUB, LA THÉOmiB DBS ÉQCATIOHS DIFFtlBXTIBLLBS.
Il reste ainsi pour II'
75. On voit ainsi que H dépend de sept constantes arbitraires homofrênes, tandis que la réglementation P n'en contient que six.
Ainsi, pour qu'une équation II de dimension quatre ayant sir dicritiques disposés suivant le schéma
Fig. 10.
soit une réglementaire ^ une condition est nécessaire.
Comme II diffère de P par l'adjonction du terme A-oK du numéro précédent, la condition est évidemment k^ = o.
Hypothèse IV.
76. Les six points dicritiques sont disposés suivant le schéma
Fig. II.
Je dis que cette hypothèse n'est pas distincte de l'hypothèse II déjà traitée.
Soit P la réglementaire obtenue en partant d'un système O de cubiques planes où les six points fixes (ùk(kz=ziy ...,6) sont les points 1, . . ., 6 du schéma; soit II l'équation la plus générale de la dimension quatre ayant les six points ûj;fc pour dicritiques. Je dis qu'on peut disposer des coefficients arbitraires de P de façon à l'identifier avec n.
PROBLÈME m VERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE. 99
Considérons une substitution quadratique Cremona s, égale à son inverse, admettant les trois points Wi, co,, W3 pour essentiels. sH aura pour dimension (voir la deuxième Section)
