ou
la droite 456 est transformée en une conique ^ sur laquelle seront situés : 1° trois dicritiques sw*, jswj, ^wg, et 2<» les trois points wi, w,, ws, tous trois hexacritiques pour 511, puisque i (4 -f- 2) = r(m -h 2) =: 6 (35). Mais 5 ==5-*, et les trois points wj, w„ W3 sont à la fois dicritiques pour n et essentiels pour s. Donc du premier membre de 511 se séparera le facteur x\ûo\a:l (36), si le triangle wiWjWa est pris pour celui de référence; la dimension de 511 sera quatre. Je dis que wi, par exemple, est dicritique pour 5 II ; si gji a pour coordonnées ^2= ^3= o, le raisonnement est celui-ci : wi étant hexacritique pour sïL avant départ du facteur x]a:lœl, toute courbe passant par wi y avait six points attachés, parmi lesquels comptaient les quatre points où la courbe était coupée par les droites doubles .rj et ^J. Après départ du facteur a:\œla^ly les quatre points ne sont plus à compter, mais toute courbe passant par wi y possède deux points attachés confondus, et le point est bien dicritique.
Ainsi SÏL est une équation de dimension quatre ayant ses six dicritiques w,, wj, W;,, 5ûi)v, 50)5, 5W6 situés sur une même conique 12.
Maintenant sP sera évidemment la réglementaire provenant du système 5d> de cubiques planes, transformé de O par 5; les six points fondamentaux sont les six points wi, wj, Wj, 5ûjv, ^ws, 5We de la conique 12. Il est en effet connu, d'après la théorie classique des substitutions Cremona, que toute cubique plane passant par les six points wi, . . . , o)6 se transformera en une cubique plane passant par les six points w,, Wj, wj, 5Wi, 50)2, ^^3 (après séparation toutefois de trois branches droites, côtés du triangle wiWîCOa).
Si nous comparons sP et 511, nous sommes ramené à Thypothèse II déjà traitée. On démontrera, sans difiiculté, que 5 II et 5 P sont identifiables; il en sera de même après intervention de la substitution s=zs-K Donc n et P sont identifiables. c. q. f. d.
11 va sans dire que la cubatique ^ est la même que dans l'hypothèse II.
lOO SUR LA THÉORIE DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Hypothèse V.
77. Les six points dicriliques sont disposés suivant le schéma
Fig. 12.
Prenons le point coq pour .Ti = .rj = o, pour a^, = o et ^j =: o les tangentes menées de w (ou Wo) à la conique des cinq points ûl)a:(A:=i, 2, ...,5), pour j?3= o la corde de contact; nous aurons alors, par un choix convenable de paramètres de référence, r'=:a^l — :i'i 0:2^=0 pour la conique des cinq points et 1,1, — i pour coordonnées du point W5; soit p la forme quadratique binaire en ^1 et j?2» dont l'annulation
donne les deux droites 012 et o34.
78. Construisons, comme toujours, le système O des cubiques planes ayant les six points w/t pour fondamentaux, les formes ternaires cubiques 9^ et ^j.
On aura pour ^y, puisque 9y=o passe parw (remarque du n° 53),
les d étant des formes lunaires en .v^ et ^2» d'ordre égal au second indice.
Si p est la forme quadratique binaire dont l'annulation donne les
deux droites 012, o34, si l'on représente encore par t\j t\, t^t^ les x^j x^y X3 d'un point de la conique /:=o, et si l'on fait usage des notations du n** 52, on voit que les cinq points ûl)a(A':^i, • . ., 5) sont donnés par l'annulation de la forme d'ordre cinq binaire en t^ et t^
S=.(ti-hti)p\ puisque les coordonnées de a)^ sont i, i, — i.
Si dans 9y je remplace x^y x^^ ao^ par t], t\y t^ti, le résultat
est divisible par è; le quotient est une forme linéaire et on écrira, nij et fij étant des constantes,
djititi-hd'j^ = p\t^-i-t^){mjti'i-njt^)y
d'où et
ci',
ji
p'{mj-\-nj), d'j^:z:zp\mjt\-\-njt.\)
dj^^=i p{mj -\- nj), dji-=z p{mjX\~^ rijX^),
Q^j zz: djy r -h mj (x^-h x^) p -{- nj{xz-\- X2) p.
Ainsi cpy est une combinaison linéaire homogène à coefficients constants des quatre formes ternaires cubiques
XjT, x^r, p{x^-^Xi), p(x^-hXi),
que Ton prendra respectivement pour ^i, 4^2» 4'3> 4**- On formera sans difficulté alors les expressions } ly j, savoir
— j 34 j —p(Ui^ «2— "s)»
jSljzzz
i2\ =1 r* it^,
: X^(x^ I 20 j :=:= X^ix^
•^1) [/^'*] -\- prih^ pruu ^i) [P^^ -i-pruy—prui,
J24jz=— 0:2(^3 + -2^2) [pr] -^prux
Wl W2 W3
P\ Pi o
.^àp^ âxi
dr
La réglementaire P sera de la forme ordinaire
Aj 23 j H-. . .4- A' j i4 } -H. . .= 0.
L'équation de la cubatique £ est facile à avoir; posons jy = ^'y
Ji — «a^ir, r2=^2'', r3=/?(^3+-^'i)> 74 = /? (-3:^3 4- ^2).
'•'y3=/?(r,, r2)(/-uC3H-7i) = />o(/-^3-+-7i),
/•«=I/-2X2— Jjj3,
j3/-«.r2 — pof'x^-^- poVi — yyf.2j'i—o,
r<2 /ya 2
f02 !IIR L.4 THÉOBIE DC.^ tQCATIO^S MFFCBOTItLLIS.
Si Ton élimine rjr, entre ces deui équations du second degré, la résultante, après départ de j, — /,,
jij'-jtjî— (7»— 7*)/>(ji»r»)==o
sera précisément l'équation de la cubatique /.
10, Passons maintenant à la construction de Téquation II de dimension quatre, qui a les six points pour dicritiques.
Le point r,), ar^^zjc^^zo étant dicritique, on verra par des théories déjà exposées plus haut {k et remarque du n*» 53) que
II,= 6,r H- b^a:^ -+- ^4,
U^—Cf^r^-h (c,x,4-c,)/*-i-c,j?3-hC4,
les a, h, c étant des formes binaires en a:, et a;, d'ordre égal à l'indice.
Je verrai, comme au n*» 65, qu'il est licite de faire abstraction dans n, du terme en /•', sauf à le rétablir sans modification en fin de calcul.
Chacune des deux droites /? = o a six points attachés dans le connexe II, savoir deux en chaque point dicrilique par définition de la (licrilicité; chacune de ces deux droites est une intégrale. Ainsi IIi//i -h IIîMj est divisible par MiO^iH- m,j7î dès que le paramètre
Wi : jTj ou — w, : Ui
est une racine de réquation p=:o. Ainsi j^jlli — cTiII, est nulle pour ^ iz. o et se trouve être divisible par /?, p divisant
on a
.rj^j — J7j ^2= 2 rriip,
x^a^ — x^b^^=iim^p,
niif nii, Wj -" l'onnes binaires en ^tijo;, d'ordre égal à l'indice.
tloniplatjons 9.p par />i ^i -h/^j.rj, /^j — -j^, Il viendra, par
exemple,
rt, ==z /Wj ^j -h pi z-i , — ^j = /Wj ;>, — p, a:,
ei, de même,
«3= w,/?,-i- Pjj:,, 62 = — /WjpiH- p2^j,
p,, p,, p,=z formes binaires en a^j, x, d*ordre égal à l'indice. Si l'on fait usage de l'identité V ^/M^zn o, on voit qu'il est licite de
faire p, — p, = pj = o, à condition de modifier convenablement l'expression non encore déterminée de Hj.
Tout cela montre qu'on a
Hi = /?, (û?, /• -h fl?, j:, 4- fif,), — Il2 = /?i(û?ir-i- d^Xi-hd^)
(en écrivant d au lieu de m),
du dfy fif,= formes d'ordre égal à l'indice.
80. Exprimons la monocriticité des cinq points 0)^(^ = 1, ..., 5). Ils doivent jêtre sur la courbe
Si je remplace, dans Aj, j;,, x^y x^ par t\y ^J, t^t^, la forme binaire d'ordre dix obtenue doit être divisible par à^=^p'{t^-\- t^), et le quotient est une forme d'ordre cinq, que l'on pourra toujours (52) écrire
^1 = forme quadratique en Xi, Xj, /j == forme linéaire en Xi, x^.
Le facteur ti existe parce que Aj=: r zz: o pour 0?,=: xi= o ou ^1 = 0. Ainsi
Aj=r(. . .) -h pidixl-j- xz{ pid^— x^Ci) -- XiC^= o,
p;^W^î-H^^2(/?;^;-^îc;)^^îc;=./?'(^,+ ^2)^i(^;4-^,^2/;),
I04 SUR LA THÉOBIB DBS fiQUATIONS DIFrfiRENTIBLLES.
d'Où (52)
P'td',-l\c; = p'{g\ + l\t\), et, passant aux œ^ et .tj,
/ ,^ ' d'où, par un calcul analogue pour la courbe
^2 lia— ^'31X2=0,
— PidiXi—c^ = /?(^2 -H 4'2?i),
g étant quadratique, l^ linéaire en x^ et x^. Du système (1') on tire facilement, eu égard au théorème d'Euler,
id^—x^{g^^ hx^) — x^{g^'\- l^x^),
Telles sont les conditions de monocriticité.
8L Les cinq points Wj, . . ., a)g étant dicritiques, les dix points attachés à la conique r = o dans le connexe sont réunis deux à deux dans les cinq points. Si donc je remplace dans Hr, ^j, o^j, x^ par t\y t\txtty je dois obtenir identiquement
A-qÔ^ziz A:o/?'*(^i-h^2)S A-Q^const., • nr ==2n,- ^ == r(. . 4- (/^id?! — />2^2) (^2^3+ c^a) +- 2^3(C3^3H- C4),
{p\t\--p\t\){d\t,h-\-d'^)'^'it^t^{c'^t^t^^c\)^k^^^^
d'où (52)
et, revenant aux j?i et x^,
diiPiXi— /?,J72) + 2C4 —2koP^,
dz(PiXi — p^Xi) -h 2C3^i;r2= A-o/?^(j?i-h JTî)'
PROBLÈME INVERSE DU PROCÉDÉ RÉGLEMENTAIRE. Io5
Si nous remplaçons rf, et cf.,, c^ et c^ par leurs valeurs tirées des formules (i) du n* 80, il viendra
( ^iigi + A ^'i ) ■+- ^1 {g% + h^i ) 4- A-0 /^(•^i ■+- -^s) = o- Éliminons k^p; il viendra, après départ de œ^ — œ^y
p désignant la valeur commune.
Alors
gi=p — /2'^i» gi— p — ^1-^2;
portons dans la première de (i), il viendra
P=— koPy
— gx — k^p-^ hœ^, —g^—k^p-^-liX^.
Le système (i) du n** 80 devient enfin
— 2 c^z=z—kQp(pi-h Pi) -f- (/i— /g) (/>l«2^l— /?î-37j),
— 2 (^4 =1^ — 2 A-Q /?* -+- ( /l ^'î — /a -271 ) ( /?i ^1 — Pi J?2 )•
