THÉORIE GÉNÉRALE DES POINTS POLTCRITIQCES. II
Ainsi, pour chercher sur une courbe unicursale les points attachés non singuliers, il suffira de considérer Téquation en t
P,(9) étant ce que devient P, quand on remplace xt par 9/(0«
Plusieurs points attachés peuvent évidemment se rapprocher indéfiniment; l'équation A=:o admet alors des racines multiples; si, par exemple, il y a /i points attachés confondus au point x^ donné par la valeur zéro du paramètre ty on aura pour t=^o
, dX û?'*-» A
ou
o = A = (iA == . . . 1= d^-^ A.
Réciproquement, si Ton a pour / = o
A = <fA = . . .i=(i«-*A = o,
il y aura au point x n points attachés confondus.
Ces préliminaires permettent d*aborder maintenant la théorie des points polycritiques.
3. Au cours du Mémoire, voici comment j*ai défini dans une équation de dimension m
P=^P,M,=:0 ou ^ Vi{xdx)i^^Q
un point polycritique x d'ordre n, ou, comme je dirai aussi pour abréger, un n-critique :
Pour X, l'expression différentielle ^ Vi{xdx)i et ses n — i pre-
mières différentielles s'annulent identiquement y c'est-à-dire quelles que soient les quantités infinitésimales
dxij d}xiy ..., d^Xi,
Ces conditions sont à la fois nécessaires et suffisantes jpar définition pour la n-criticité du point x.
La définition, comme on voit, est purement analytique; j'en vais
donner une interprétation géométrique, d'un usage continuel dané la suite :
Théorème. — Étant donnée Véquation
pour qu*un point x soit n-critique, il faut et il suffit qu'une courbe C quelconque passant par x possède en x n points consécutifs attachés à elle dans le connexe
2 P/ Ui =: O,
Comme on peut toujours trouver une courbe unicursale ayant en x avec C un contact du {n — i)i«me ordre, c'est-à-dire n points consécutifs communs, il est licite dans l'énoncé du théorème de supposer la courbe G unicursale.
I. La condition est nécessaire, — Je vais démontrer qu'il y a en x n points attachés confondus.
Soient ^,z=(p,(^) les expressions des coordonnées du point courant sur C en fonction d'un paramètre ^ 9, étant un polynôme; soit < =r o la valeur du paramètre qui donne le point x. On a, par hypothèse, en X
P=:^P=:...=:^'*-»Pi=:0,
V = ^Vi{xdx)i,
quelles que soient les différentielles
dxi, d^Xiy ..., d'^^Xiy
et en particulier pour les valeurs de ces différentielles qui correspondent à un déplacement infinitésimal sur C à partir de Xy c'està-dire
(o) dxi—^\{o)dt, d} X i— <^\{o) df*' , ..., d'' x i^=. ^f\o) dt'*' y
9!, (pj, . . . étant des dérivées successives de 9, et 9/(0), . . ., leurs valeurs pour ^z=o.
Reprenons l'expression
^{t)^^Vi{^){<^i)iy
THÊORIB GÉNÉRALE DES POINTS POLYGRi TIQUES. )3
déjà considérée plus haut (2). On a, pour Je point Xy
Si Ton différenlie n — i fois P, en attribuant aux différentielles dxiy . . ., df^Xi les valeurs (o), on aura
^P = A'(o) dt^y d^V — M\o)dt''y . . ., rf«-ip = A(«-»> (o)é/^«,
A', A^ . . . étant les dérivées successives de A. Ainsi l'équation A (^)=: o possède n racines nulles, et par suite (2); il y a ai points attachés à la courbe dans le connexe, confondus avec x, c. q. f. d.
IL La condition est suffisante, — Je vais montrer que, si toute courbe G possède en x n points attachés confondus, x est /i-critique, c'est-à-dire que
quelles que soient les différentielles dxiy . . ., rf«a?,-.
Soit un système quelconque de Sn quantités infmitésimales du premier, second, . . . , /i'*°^« ordre d'infiniment petits
dxiy d^xiy . . ., d^i
ou, dt étant un infiniment petit du premier ordre, un système de 3/i quantités finies quelconques
dxi d^Xi d"'Xi
'dt' 'W '"' 'di^
quotients des quantités précédentes par des puissances de dt.
On pourra toujours trouver trois polynômes Qi{t).àe même degré, tels qu'on ait
9/, (pi- étant les dérivées successives.
Alors on aura, pour le système considéré de 3/i différentielles et au point X,
' P = yp,(^'^^),-=::A(0)ûr^
d)? = A' (o) dt\ . . . , d'^'' P :zr A(« -^^ (o) dt%
i4 sun Là théorie des équations différentielles.
A étant, comme toujours, Texpression
(P(?)?9') ou
Pi(9) 9i 9i
Pî(9) ?î ?«
Considérons la courbe unicursale C définie par les équations Xi=ifi{e), c'est-à-dire celle dont on obtient Téquation en éliminant t entre les deux équations
C a, par hypothèse, n des points qui lui sont attachés, confondus en a? et réquation A(^) = o (2) a n racines nulles. Alors
et
ce qui démontre la «-cri licite du point x.
Je viens de m*appuyer sur l'égalité
(o') d^P =z \^^) (o) dt""^^ (a = 6,i, ...,n — i).
Elle est à peu près évidente. En voici toutefois une démonstration sommaire.
Pour a = o, l'égalité a lieu par définition. 11 reste à prouver que, si elle est vraie pour a — i, elle est aussi vraie pour a. Considérons donc régalité
Pour passer à t/*P, il faut changer
d?Xi en d^œi-\- d^^ûCi (|3=o, 1,2, ...,a),
c'est-à-dire, d'après les relations (o') du présent numéro
9<?'(o) dt^ en 9^ >(o) dt^ ■+- 9^ "^^Ko) di^^\
ou / en /-H û^^; le second membre devient A^*-*^(o)(f^* -h A*(o)<i^*-^^ tandis que le premier devient d'^-^P + rf*P; il reste donc bien
d'^P ^ SS^^ {o) dt^-^K
THÉORIE QANÉRALB DBS POINTS POLYGRITIQUES. l5
4. Ce théorème va nous donner la forme explicite d'une équation de dimension m ayant un /i-critique donné, a?i = ar,= o, par exemple. Soit
\^Pi{a:dx)i=LO ou Vp^tt, = o une pareille équation, où
Jr j ^^ CLqÛP^ -^ CliOC ^ -+* • • • ~H ^m> P,=:^o^?-t- -H*,„>
^jt> bky C|:=: formes binaires en ^i, œ^ d'ordre égal à l'indice A==:o, 1,2, . . . , m ; appelons w le w-critique x^=:x^::=i o.
Toute droite passant par w, a j x^ -h w , ^2 = o, u\ : m', quelconque, a n de ses attachés confondus en w et ses m — n autres points attachés ailleurs. La droite u\x^-^ «j^j^zo coupe donc la courbe d'ordre m
WjP, -h a',P2=:o
n fois en w et m — n fois ailleurs. Les x^ des points d'intersection sont donnés, x^ : x^ étant constant le long de la droite et égal à — u\ : u\y par l'équation
X^ t 1 "~~ X ^ Jr 2 — • O.
Celte dernière doit avoir n racines inRnies correspondantes à w et se réduire au degré m — n; cela exige les identités
x^ag — x^bg^^Oj 5 =: o, I , . . . , w — I
où ag^zx^dg-iy bg:=Xids-x9 ^s-t forme binaire en ^j, x^ d'ordre égal à l'indice, avec ao= ^0 = ^-1=0. On a ainsi
P^=ix^D -h xf-'*6„-f- -hb^,
Mais
Vw,a?,=:0 et D(WiJ7i4- Wj^a) =— Dj^sMj.
Il est ainsi licite de faire, dans Pj et Pj, D = o, à condition de modi-
l6 SUR Là THÉOfilR DES ÉQUATIONS DIPrÉRENTIELLES.
fier P3 par l'addition de — Dx^. En résumé, il vient
1 3 — — Cç^ûC ^ — r* Cj .37g -T- . • > ~T" C^/(,
en écrivant Cq au lieu de Cq — d^^ c, au lieu de Cj — d^^ .... Je vais maintenant exprimer que pour co on a identiquement
P=2P/W,=i:0 et û?P=:^«P=:...=i:flf''-»P = 0.
Il est évident que, pour w,
Pi- P,z=^Pi:=rfP,r=...= ^'»-iP, = e/«-*p2=r:0,.
puisque m — n est l'exposant le plus élevé de x^\ ainsi
Gf»P zn^f*. Pjf/j, a=:o, I, . . ., « — I.
Pour iùy
W3 m j7j rfo?! — Xx dxi et é/M3 r= Xj ûP ^, — .2?i rf'vr j
s'annulent; on a donc successivement
P^rPjMjrzio, û?P r= Pjû^Wa-h WjûHParz o;
puis
ûf-P=:P3<f2w3i=o et P3=o;
d^P:=i3d^u^dPi, sous bénéfice dçs relations précédentes, et puis
dP=zo.
Je dis que, d'une façon générale, les relations identiques
P = <iP =:. . .=r:<i"P=:0, a = 0, I, ...,/l — I
entraînent celles-ci, identiques aussi,
P3=: rfP3 = . . .rzz û?«-«p3=: O.
Nous venons de le montrer pour a=i, 2 et 3; je vais faire voir que, si le fait est vrai pour a — i, il est vrai pour a. En effet, par la formule de Leibnitz
^ap = ^ap^ ^^^- ^,^ d'«P3+ a du^ (i«-i PsH- . . .
