a f/*- * «3 G^Pa -f- <i« W3 P

THÉORIK GÉNÉRALE DKS POINTS POLYGRITJQUBS.

et, conformément à Thypothèse pour a — i, Il reste

^ap— ^^ — ^e/*«ge/«-«P3=:o,

c'est-à-dire

<i«-*Pj— o c. Q. F. D.

Ainsi la courbe Pj=o a en co un point (n — 2)"i>»«', puisque, pour

Pjzzié/Pa — ...=re/«-3P3=o

identiquement. Ainsi dans

"3=1:: Co^g -H CjJJj H~''>H-C//i,

et

On a ainsi la proposition :

Théorème. — Pour que l'équation différentielle

ait un n-cri tique en a?, =: j7j=z o, il faut et il suffit qu *on ait

Pj=:a,^j7j -f- . . . -h a,;,, Pj = ^/t-^î*"'* -4- ... H- 6,«,

0. Les relations précédentes peuvent se mettre sous une autre forme, de laquelle nous ferons aussi usage.

Reprenons

•13-—-*^» ^«-î ~T" ^/tt~H «^3 V^/l — 1 -^3 "4" • • • ~^~ ^//l- 1 )•

On a

== — ( M, d?! -h /iî^,) (C«, J?f -" -h ... -h C,„i ).

Univ. de Lyon, lU. — A. 2

l8 SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Ainsi on écrira simplement, modifîant convenablement a,„ an+\, . . .,

Si Ton a identiquement c„-î=o, le point ^1 = ^2=30 devient n-hyper critique.

Les relations précédentes ne s'appliquent pas ipso fado aux points monocritiques, /i =i;i. Mais on voit directement sans peine que, pour le point monocritique x^-=z ^jzz: o, on a

c*est-à-dire que tout point monocritique est monohypercritique. Enfin un point ordinaire du plan peut être considéré comme un zéro-critique ou un zéro-hypercritique.

6. Les m-critiques peuvent aussi être étudiés à un autre point de vue.

Reprenons les formules (o) du n*» 5,

t j — (Xfi X j -\- • • • ,

2 — Ufi «^3 -!-•.•,

Considérons une droite u, ^1 :^2= const., issue de w (^1 = 0:2 = 0), point «-critique.

Les x-i des m — n points autres que w, attachés à u dans le connexe, sont racines (4) de Téqualion

(i) {x^a^— Xibn)x'^'~''-\-. . .-\- Xia,,^— Xib,n:= o.

Il peut se faire que Ton ait identiquement

o^lSm — n ou

Ctn^^— *^l^n—l9 ^«4-1 — - -^l^/ij •••> ^«-H/— 1 — - «^1^/*-»-/— 2>

les ^ élant des formes binaires en x^ et ^2 d'ordre é^al à l'indice.