Soit (ii{xir=ix^z=io) un pareil point dans l'équation
2^ P/ «/•= o, Ui = (.r dx)i.
ao SUR LA THÉORIE DBS ÉQUATIONS DIPFÉRBKTIBLLBS.
On aura (6), / étant la catégorie du n-critique w,
L'équation du réseau 51 est
Al J?! Pj
(A:,=:consl. arbitr.)»
c'esl-à-dire en développant et tout calcul fait,
—^kiAi—o,
Soient ^' et ^^ deux courbes du réseau définies par les constantes /j et k% Cherchons combien de points d'intersection des deiix courbes sont réunies en co.
Z' et ^^ ont en co un point {n — i)"p*« et leurs n — 1 branches sont tangentes respectivement aux n — - 1 droites
( A:', j?! — k\ Xi ) Cn-i =0 et ( k\ x^ — k\ x^ ) c,t, = o.
La branche de ^' tangente à k\x^ — k\xiZ=zo coupe n — i fois 3'^ en (i). Voyons comment se comportent les n — 2 branches tangentes aux droites c„,=r: o.
La courbe d'ordre m,
6 = c«, xl'-"^^ D j:3 H- (7^ = o,
possède en w un point (/i — 2)"?^^ et les /i — 2 branches sont tangentes aux n — 2 droites c„j=i=o. Chacune de ces n — 2 branches coupe 3' en /i -h / points confondus avec co, puisque 6 ^= o coupe ^' aux mêmes points où 6 = o coupe la courbe
i=.ni
o-=i 2 x'I' '{k'^ix^at— x^bi) — Xi{k\ai— k'^bi)], laqiielle a en co un point (/i 4- /)"p»«. La courbe 6rro se comporte
THÉORIE GÉNÉRALK DES POINTS POLYGRITIQIIKS. 21
exactement de môme par rapport à la courbe ^". En résumé, sur chacune des n — 3 branches de 6 = o issues de w, n-\-l points consécutifs sont situés à la fois sur ^' et sur ^^ Les deux courbes ^' et ^" ont donc en commun en w
points. Le réseau 3 n*a donc plus en dehors de w que
m'-+-/n-+-i — n}-\-n-^\ — /(/^ — 2) points flxes au plus.
8 hls. Considérons maintenant un /e-hypercritique, forcément de catégorie zéro, comme on Ta vu (6, in fine). Il faut faire dans l'équation du réseau ^
Il vient alors, D étant aussi nul (7),
^m-«4-i (A'jô,,— k^h,,) H- <"-'*(. . .) -H . . . = O.
Toutes les courbes de ^ ont en co un point /i"p*« et, par suite, «* points d'intersection confondus, au moins.
Toute cette discussion se résume ainsi :
Théorème. — Dans la supputation des m* -h m 4- i points d'intersection fixes du réseau 3, un n-critique de catégorie l équivaut à au
moins
points et un n~hyper critique à au moins /i* points,
9. Voici donc comment on procédera dans la recherche des points polycritiques d'une équation donnée
V^^ViUi^o.
On construira le réseau ^
^ki{l^x)r=^^ki\i^o.
Soit X un point où sont confondus p points fixes du réseau sur les
23 SLR LA THÉORIE DB§ ÉQUATIONS UIPPÉRENTIELLES.
m* -h m 4- I. On résoudra en nombres entiers les équations
p =: n^ ou p=: n*— n — i'\- l{n — a)
et on aura les valeurs possibles de /^ et de /. Pour faire le choix, on transportera en x le somniet j7, = a7,=::o du triangle de référence, et les formules d'un théorème précédent (4) nous renseigneront d'une façon précise sur Tordre et celles du n° 6 sur la catégorie.
Il serait, sans doute, possible de déterminer Tordre et la catégorie du point jc en laissant les coordonnées arbitraires, mais je n'ai pas besoin pour la suite de résoudre ce problème. 11 est aussi inutile, pour mon objet, de considérer le cas où des points polycritiques ou polyhypercritiques se rapprochent indéfiniment les uns des autres, ce qui fausserait, bien entendu, la méthode.
10. Pour exprimer qu'un point est dicritique, il suffit, et c'est là un procédé dont je ferai un usage continuel, d'exprimer qu'il est monocritique et de catégorie un; nous avons vu, en effet (6, in fi ne) y qu'un n-critique de catégorie / devient (/i -+-/)- critique, dès qu'il devient /^-hypercri tique; or tout point monocritique, /i=:i, est, en réalité, monohypercrilique (5).
Pour exprimer que la catégorie est un, j'exprimerai qu'il y a trois éléments critiques (6), ou encore qu'il y a plus de deux courbes qui ont, au point considéré, deux points attachés confondus, car les tangentes à ces courbes forment bien, avec le point considéré, des éléments critiques. Ce procédé sera d'un usage perpétuel (57, 67, etc.).
11. Je vais maintenant établir quelques relations entre les points fondamentaux (ou fixes) d'un système de courbes
Xy— consl. arbitraire,
et les points polycriliques et pohhypercritiques de l'équation H, obtenue par l'application du procédé réglementaire aux quatre formes ternaires 9y.
Théorème. — Un point fondamental r^pf<^ du système o =: o est un point xr^" rit if] ne de la rvsj^lementaire H.
THÉORIE GÉI«ïËRALE DES POINTS POLYGRITIQUES.
Appelons p Tordre des quatre formes ternaires cpy; on a vu, dans le Mémoire, que la dimension de H est 2(/? — i).
Je vais donner, du théorème, deux démonstrations différentes, dont chacune fournit des corollaires distincts.
l2. Première démonstration, — Posons
d?(pi <iP©j
11 est toujours licite de supposer a<j3 puisque ([3, «):=:-- (ot, (3) et que (a, a) = o. Une différentiation immédiate montre que
Appelons
«r.(«,P)rzz(a-hi,[3) + (a,(3-hi).
P=:^Pi{xdx)i=zO
la réglementaire H. D'après les règles longuement exposées au cours
du Mémoire, on a
d'où, par différentiations successives.
dp-
(pp-
rfT^
rf*P =
d^'-'^P = {o, 2/- — i)4-ai(i,2r — 2) -H.
.-ha,.(/— i,r), .-H br(r — ly r -M),
P = (o,^ + i) H- Ci(l,^)
OÙ les a, 6, c sont des nombres entiers et positifs, ainsi qu'il résulte de la loi de formation.
Si un point x est un fondamental r"P^«, on a pour x identiquement
o — c^j—dQj = . ..=z^'--»9y (y — 1,2,3, 4)
et, par suite.
(a,[3)=ro («</•-!)
a4 SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
et, par conséquent,
Quant à d^'P^ cette expression se réduit à A:(/-, r-Hi); Arp^o comme on l*a vu et(r, r-hi) ^o; ainsi x est un point 2r— critique de la réglementaire.
13. Les considérations ci-dessus conduisent à une remarque intéressante.
Reprenons la surface unicursale /, dont il a été si longuement question dans le Mémoire, définie parles équations
On sait par des théories bien connues que, au point fondamental rnp^oj?, correspondent sur £ tous les points d*une courbe unicursale d'ordre /•, laquelle, d'après la terminologie usitée au Mémoire, sera « fournie » par le point jp, et que je désignerai par h. Si Ton pose
(p3 3IZ Cf. .Z'j -h Cr^i -3? 5,
a,., . . ., dr^i =11 formes binaires en a;,, .r, d'ordre égal à l'indice (ce qui suppose le sommet œi^zx^^^o du triangle de référence placé en x), on voit que les coordonnées du point courant z sur h sont proportionnelles à «;., b^ c^ d,. ou encore à ûf'cpy, c'est-à-dire fonctions ralionnelles du paramètre Xx * ^t ou dx^ : dx^^ ce qui revient au môme.
Lorsque l'on a fixé la position de z sur h en fixant la valeur du paramètre Xx : x^ ou dxi : c?j?2, on voit sur-le-champ que dzjy qui donne la direction d'avancement sur £ à partir de ^, est proportionnelle k ^''*"*?y> tandis que sy, ainsi qii'on l'a vu, est proportionnelle à d''(^j.
Pour que la droite z-^dz,z soit capilale, il faut et il sufQt que l'on ait
d''o^ d'çp^
THÉORIE GÉNÉRALE DBS POINTS POLYCRITIQUBS.
Pour que la courbe h soit une nodale de S (au sens du Mémoire), il
faut et il suffit que la droite 2 + dzy s soit capitale, quelles que soient la position du point s sur h (c'est-à-dire les zj ou les ^'cpy), et Torientation des dzj (c'est-à-dire les d^-^^f^j). En d'autres termes, il faut et il suffit que Ton ail identiquement (r, /•4-i) = o, et, par suite, d^^P =: o (12). Alors le point fondamental /'"p*® considéré est non pas 2/'— critique, mais bien (ir-h i) — critique. Ainsi il vient :
Thêor6mb. — Pour que la courbe h fournie sur la sur/ace ^ par un point fondamental r**P^^ soit une nodale, il faut et il suffit que le point soit, non pas un 2r — critique^ mais un {2r -{-lycritique de la réglementaire.
Kevenons maintenant au théorème du n"" 11.
ik. Seconde démonstration, — Pour l'établir, nous formerons explicitement la réglementaire H. On a vu, au cours du Mémoire, que la réglementaire provenant de quatre formes ternaire» ^y est, en écrivant Ui pour {xdx)iy ce qui est indifférent,
Ui
tt, «3
Ui
?ll
?SJ
?tl
ffl
= 7,^iUi — o,
dxi
On pose, comme plus haut (13),
af.x^
bp,
les a, b, Cy <i étant des formes binaires en Xi, x^, d'ordre égal à l'indice, et p Tordre des <py. La dimension de H sera, comme on sait,
Si l'on pose
da^ .
dxx
âa^ dxt
il viendra, pour H,
iUi
(/? — r)a,.:r5 '* ^-\-ar^i(p — r
i)xs— «
Uo
(p - r)c,J7r'-» -+-. . . (/> - r)xP-'-' 4-
Cherchons le terme de plus fort exposant pour x^ dans P,, Pj, Ps. On aura dans Pi, pour exposant maximum de ^3, 2(/> — r) — i, et le
coefficient de .r|'''"'*^~* sera
ip-r)
( a,. br
sous bénéfice du théorème d'Euler appliqué aux formes binaires d'ordre r, l'expression devient
Cr,2 "iM
On trouvera de même que le terme en ^3 d'exposant maximum dans Pj est
Dans P3, le terme d'exposant maximum pour x^ est
Ainsi
Pi = -
•37 1 Iv «X- j. -7** . . . ,
Pj = - ^—^x,K a:? "»-'•'-' + . . .,
Pj^rKa^r"- '■'+....
