Considérons l'oxpression

où>'| est égal à x^ '!'(*)• I'(^) étant une fonction [lolomorplie dans le clomaii]e du point zéro et non nulle pour a: — o, et où/»;, ne contenant dans son développement cju'un nombre limité de puissances négative^; de.r. est infini, pour x ~ a, d'ordre fini wy. On a

et, par conséquent, ce produit, pour ^ — d, est infini d'ordie fini h au plus, d'où il résulte que l'exprest^ion considérée est infinie d'ordre égal ou inférieur à t^ïj -h h.

Si A = o, l'expression est évidemment d'ordre cr,. Mais remarquons le cas particulier où A est égal à m —j. Dans ce cas, l'ordre infinitésimal de l'expression est au plus égal à zsj+ m —j, c'est-à-dire an nombre Uy défini au «"16.

Si nous envisageons maintenant une somme d'expressions pareilles a la précédente, il est clair que, pour 00 ~ o, elle sera aussi infinie d'ordre fini, et cet ordre sera évidemment égal ou inférieur à la plus grande valeur des nombres®; + A correspondant aux difî'érents termes. Si dans un terme h est nul et si la plus grande valeur est celle wy qui répond à te terme, la somme sera certainement d'ordre ssj. Enfin, si dans chaque terme h est égal à m —j, l'ordre de la somme est au plus égal à la plus grande valeur des nombres II qui correspondent respectivement à ses différents lermes.

20. Supposons que l'équation différentielle P =^ o ait une intégrale régulière; alors elle admet (n" 17) une solution de la forme

où 4'(^) l'emplit les conditions déjà indiquées, Ecrivons l'identité qui cil résulte, et tirons-en la valeur de p,,, :

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THÉOniE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 21

J'en conclus aussitol, d'après le numéro précédent, que, si p,, p.^

p,„^, ne contiennent qu'un nombre limité de puissances négatives de x, il en sera de même depi„, et, de plus, que, si g est la plus grande valeur lies nombres

l'ordre infinitésimal ©,„ de /»,„ sera au plus égal à g, c'est-à-iiire quo l'indice caractérislique de l'équation est égal ou inférieur à m — i .

D'où cette proposition ;

Lorsque, dans l'équation différentielle P = o, les coefficients p,, p.,, .. , p,„-\ ne contiennent dans leurs développements qu un nombre limiié depuis. sances négatives de x, si cette équation admet une intégrale régulière, le coef- Jîcient pi^ne renfermera lui-même qu un nombre fini de puissances dex~*; déplus, l'indice caractéristique de l'équation sera égal ou inférieur à m — i.

Remarquons aussi que/),„ peut s'écrire

^,„{x) ne comprenant dans son développement que des puissances positives de X el pouvant s'évanouir pour x = o.

21. Supposons que les coefficients p,, p.^, ..., p^ de l'équation P = o ne renferment qu'un nombre limité de puissances de x~\ Les valeurs des coefficients q,, q^, ■.., qs àe l'équation Q = o du n" 18, données par les formules (i) de ce numéro, sont alors des sommes d'expressions de même forme que celle du n" 19. Donc, d'après les remarques faites en ce n" 19, les coefficients q,, q,, . . . , ^^ ne contiendront eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances négatives de x, et, de plus, l'ordre infinitésimal de q^, k étant au plus égal à s, sera égal ou inférieur à la plus grande valeur y. des nombres

sî.-i-/,-, cT, + /,-i, ra,-^ /■-'.., ..., w-, ^-i, m,

e(, si celte valeur maxima est celle du dernier w^, y^ sera cxaclcmenl d'ordre în^. Par suite, on peut écrire

:^2 G. ri.OQVKT.

Q;,{x) ne coiitiireiiniil que des puissances jiosilivcs de a- et poiivanl conlenii' le facteur ir.

Supposons maintenant que les coefficients y,, ç^, . , . , |/j ne t-oniprennent qu'un nombre limité de puissances de a?"', et soient

les fonctions Q, , Qa, . - . , Qj ne renfermant que des puissances positives de œ et pouvant (J'ailieurs s'annuler pour a; = o. Le n" 19 conduit iilors aux conséquences suivantes. La valeur de/),, tirée de la première formule (i) du n" 18, sera pour x = o infinie d'ordre fini égal ou inférieur au plus grand p., des deux nombres v, et i, ce qui perÈiiel d'écrire

P, (ar) ne conlenant que des puissances positives de ce, et P, (o) pouvant être nul. Substituant cette valeur dans la deuxième formule (i), on en tirera pour /^^ une expression infinie d'ordre fini égal ou inférieur au plus grand fj-^ des trois nombres v^, 2, ^, + i , ce qui permet d'écrire

^îi^c) ne contenant que des puissances positives de œ. El ainsi de suite jusqu'à

Donc les coefficients /i,, p^, . .., ps ne. renferment eux-méines qu'un nombre limité de puissances de x~^' , et l'on peut aisément trouver la limite supérieure de l'ordre infinitésimal de chacun d'eux-

22. Toutes ces remarques étant faites, nous pouvons des à présent rechercher la forme nécessaire que doit affecter l'équation différentielle P=o pour avoir toutes ses intégrales régulières. M. Fuclis a dé];» résolu cette question, mais noire intention est d'employer une méthode différente.

THEOUIF. OKS lL(JU\TIONS DIFFERENTIELLES LIKEAIRF-S. a.i

Supposons (l'aljoi'd m ~ i dans P = o, et considérons réqualioii iJu pi'iîmiei' ordiK

Cette équation, ayant toutes ses intégrales régulières, aura {n"i()] son coefficieiîl /», dts la forme

oii P,(^) ne contient qufi des puissances posilivcs de x et poul être nul pour j? = o. Donc, dans le cas m = i, réf|ualion dificrentieile est nécessairement de la forme

C'est, du resie, ce qu'on peut établir directement au [noyen dv. l'exprossion de l'intégrale générale

Si/>| est infini d'ordre ??, = n + i supérieur à i, «étant positif, celle intégriile est de la forme

où i^{cc) est holoniorphe dans le domaine du point zéro, et non nu! pour x^o; et, par coiiséquenl, y n'est pas une intégrale régulière. Si, au contraire, on a w, 5i, j se réduit à

et par conséquent est régulière. Il faut donc, et même il suffit, que p, soit delà forme

pour que l'équation ait loufes ses intégrales régulières.

Supposons maintenant m—i dans P =^ o, et considérons l'équation du second ordre

(IH- dr

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