G. FtOQLiKT

Celte équation ayant par liypothèse louies ses intégrales régulières, il en est de même (ti" 18^ de l'équation du iiremier ordre

déduite de la première par la SLibstilulioii X-j\fzdx, où /, désigne x^'^{ix]. Donc on a

Par suite, la valeur de p,, tirée de la première formule (r) du n° 18, est delà forme (n" 21)

Il en résulte (n" ^0) que p.^ s'écrira

PJ,x)

Donc, clans le cas m= 2, l'équation difl'érentiolle est nécessairement

où les fonctions P, et Pj ne contiennent que des puissances positives de X et peuvent s'évanouir pour x= o.

Généralement, je supposerai démontré que, dans le cas où l'ordre est m—i, l'équation différentielle, pour avoir toutes ses intégrales régulières, doit être de la forme

'^"ili^ .L. M^l izilz . ElC^ ^'" 'y u . P "-'(-^ ' .

et je démontrerai que la même forme est nécessaire pour une équation d'ordre m.

En effet, si l'équation

a toutes ses intégrales régulières, il en est de même I r\° 18) de l'équation d'ordre m — r

Donc, d'après l'Iiypothèse, les coefficients q sont de la forme

Par suite, les valeurs de />,, />^ , .... /5,„,, tirées des formules (i) du n° 18, sont de la même forme (n° 2f) :

Il en résulte (n" 20} que p^ s'écrira aussi

Donc, pour que l'équation différentielle P~o ait toutes ses intégrales régulières, il est nécessaire qu'elle soit de la forme

(J^r Pi(j^] d-^-y P'{^] à"-')- ^ P,„(37)

dx'" X dx"' ' x^ dx'"~^ ' x'" ^ '~ '

OÙ les fonctions P,, P^, .-., P^ ne contiennent dans leurs développements que des puissances positives de x et peuvent s'annuler pour X := o.

Remarquons que cela revient à dire que les coefficients/), ,pi, ..., p,„ ne doivent renfermer qu'un nombre limité de puissances de a;"', el que les nombres !!(,, ITi, II2, . . ., n„, définis au 11° 16, doivent être égaux ou inférieurs à m.

D'oii la proposition suivante :

Pour que V équation différentielle P == o ait toutes ses intégrales régulières, il faut que ses coefficients ne contiennent dans leurs développements qu'un nombre fini de puissances négatives de x, et en outre que son indice caractéristique soit zéro.

23. M. Fuclis a démontré que, réciproquement, ces deux conditions sont suffisantes :

jS(, dans l'équation différentielle P = o, les coefficients ne contiennent qu'un nombre fini de puissances négatives de x, et si'en outre l'indice caractéristique est zéro, cette équation a toutes ses intégrales régulières.

Nous admettrons cette proposition réciproque, que M. Fuchs a établie en montrant l'existence d'un système fondamental dont les éléments sont de même nature que la fonction F du n" 14. Ces éléments .appartiennent h des exposants p,, p^, .. ., pm qui sont les racines d'une certaine équation de degré m, dite équation fi^ndamentale déterminante. Ces racines ne sont d'ailleurs autres que les logarithmes, divisés par 2 n \/— I , des racines de l'équation fondamentale du n° 9.

L'équation déterminante jouit de propriétés importantes. Pour l'obtenir, on faitj'^irP dans le premier membre de l'équation différentielle, qui, par hypothèse, est

chy V,[x) d-'-'y V,[x) d'"-\r . , P^(-^1

Puis on multiplie ce résultat par sc~^, et l'on égale à zéro le coefficient

de x~"' :

p(p -.,)...(?-"' + ') H- P.(o)p(p-.)-..(p-'» + ^)+--- + P.iol = » est l'équation fondamentale déterminante.

24. Ayant traité le cas oii toutes les intégrales de l'équation différentielle P = o sont régulières, avant de passera celui où quelquesunes seulement de ces solutions seraient régulières, je vais établir un théorème concernant les nombres n définis au n" 16.

Je désignerai par n' les nombres n relatifs à l'équation Q = o, déduite de P = o par la substitution

X=:f,fzdx,

y, étant une intégrale de la forme déjà indiquée x^ ^(x).

TIltORIE liES ÉCLATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. ■i.')

Lorsque, dans l'équation P = o, les coefficienls p,, Pi, . . . , /Jj ne coatiennent qu'un nombre limité de puissances négatives de ce, on sait fn^ai) que les coefficients q^, q^, ..., q^, dans l'équation Q ~ o, ne renferment, eux aussi, qu'un nombre fini de puissances de ;»"'. Cela étant, si ^, est la plus grande valeur des nombres

et II/, le premier de leur suite qui soit égal à g,, alors, dans la suite des nombres

la plus grande valeur sera ^Ti " t, et le premier qui soit égal à g-, — i sera II-,.

En effet, il résulte du n*' 21 que, k étant su plus égal à S, l'ordre infinitésimal -^\ de ç^ est égal ou inférieur à la plus grande valeur des nombres

et, si celte plus grande valeur est celle du dernier, on a ts), — ts^. Or, augmentons tous les nombres (3) de la même quantité m — ^, ce qui donne

\f\] II., n,, n,, ..., II..

i" SiA=i'|,/, étant l'indice défini dans l'énoncé, IIa est plus grand que tous les autres nombres (4) ; donc, dans ce cas, le plus grand des nombres (3) est le dernier tû^, et par suite 7«\ = ro^. Ainsi, j^;, = w,-, ou, ce qui est la même chose, -^[^ -i-(m-- i) — (', est égal à s,-^ + m — i", — i , c'esl-à-dire

■2." Si k.<^i,, la plus grande valeur des nombres (4) est inférieure a n,-, ; par suite, la plus grande valeur des nombres (3), augmentée de m — k, est inférieure à H,- ; donc , a fortiori, w'j + m — A est moindre que Ili, , ce qu'on peut écrire

fc'^-i- («i — i)--/f<n,, — 1 ou h;<it;,

yGoosle

c'ust-à-(lii-(

ii'„, n;, n;, ..., n;,.

3° Si ^>i,, k étant au plus égal à S, la plus grande valeur des nombres (4) est ri;,; par suite, la plus grande valeur des nombres (3). augmentée de m— i, est rij^; donc Wj. -f- m — ^ est égal ou inférieur à n,, , ce qu'on peut écrire

ou HÂ S n;, ,

Les trois conclusions (5), (6), (7) renferment la démonstration du théorème énoncé; car (6) et (7) expriment que la plus grande valeur des nombres (2) est celle de H;,, qui, d'après (5), est égal à fl/^— 1, c'est-à-dire à g-, — 1 , et les inégalités (6) montrent que ri-, est le premier des nombres ( 3 ) qui soit égal a g, — i.

Remarquons que, si S — m — r, i, est l'indice caractéristique du l'équation Q = o.

25. Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante :

Lorsque, dans l'équation différentielle P^o, les coefficients pt, /'21 ••■) /'j ne contiennent dans leurs développements qu'un nombre limité de puissances négatives de x, si cette équation admet au moins m — s intégrales régulières linéairement indépendantes, les autres coefficients p^^^ , Ps^i , ..• , p„i ne renferment eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances dex-\ et, déplus, l'indice caractéristique est égalou inférieur à S.

Cette proposition a été établie au n" 20 pour une équation différentielle d'ordre m = S -(- i . Je prouverai donc simplement que, si le théorème est vrai pour l'ordre m — i, il l'est aussi pour l'ordre m.

Et, en eflet, l'équation

TlllCOKIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 29

ayant une intégrale régulière, puisqu'elle en a au moins m — s, admet (ti" 17) une intégrale

^r, = arf >L(^),

OÙ la fonction |{^) est hoiomorphe dans le domaine du point zéro, H non nulle pour ce = o. Faisant la substitution

nous obtiendrons l'équation

oii les coefficients q sont donnés par les relations ( i ) du n" 18. L'équalion P ^ o ayant par hypothèse au moins m — s intégrales régulièrcH linéairement indépendantes, l'équation Q = o en aura ( n" 18) au moins m — 1 — s. Or, jO| , /)j, . .., p, ne contenant qu'un nombre limité de puissances de œ~', il en est de même (n^âl) de q^, q.,, ..., q^; et, puisque le théorème est supposé démontré pour l'équation = d'ordre m — i, les autres coeificients 9,+,, q,+2, . ,., y,„| seront euxmêmes infinis d'ordres finis pour x = q. Donc les coefficients />,+ ,, Pj+s, •■•7 Pm-\ OG renferment aussi (n" 21) qu'un nombre limité de puissances négatives de ar, et alors, d'après te n''20, il en est de même dejo„j. Passons à la seconde partie de la proposition. Soit i l'indice caractéristique de l'équation Q :::^ o; on a i^s, puisque le théorème est supposé vrai pour cette équation. Or, i étant l'indice caractéristique de Q = o, n'i est la plus grande valeur des nombres

et est le premier qui atteint cette valeur maxima. Donc, d apriîs le n" 24, n,- joue exactement le même rôle dans la suite des nombres

De plus, d'api'ès le n" 20, on a

yGoosle

D'où il résulte que i est l'iuLlice caractéristiiiue de l'équation P = o, el, eomme on a i^s, la proposition se trouve établie.

26, La proposition du a° 20 étant ainsi généralisée, j'en déduis les deux conséquences suivantes :

i"^ Si les s — I premiers coefficients p,, p^, .. ., ps-\ de l'équation P =^ o contiennent un nombre limité de puissances négatives de a;, sans </u 'il en soit de même du s'""", cette équation a au plus m — s intégra/es régulières linéairement indépendantes.

En effet, si elle en avait m — ^ + i ou davantage, p, serait aussi infini d'ordre fini pour a; = o.

2^ Si tous les coefficients de l'équation P =^ o «e contiennent qu'un nombre limité de puissances de x~* , elle a au plus m — i intégrales régulières linéairement indépendantes, i étant son indice caractéristique.

En effet, si elle en avait m — / + i ou davantage, son indice caractéristique serait égal ou inférieur à i — i .

Remarquons que le premier énoncé rentrerait dans le second si, lors même que n,- est infini d'ordre infini, ('continuait à se nommer l'indice caractéristique.

Nousconsidérerons tout particulièrement cette seconde proposition, qui nous invite à étudier spécialement les équations différentielles P = o, dont tous les coefficients présentent le caractère des fonctions rationnelles d'être infinis d'ordre fini pour œ = o. Une pareille équation a au plus m — i intégrales régulières linéairement indépendantes. Nous allons voir que souvent elle les a, comme dans le cas i = o (n" 23), traité par M. Fuchs; après quoi nous montrerons des exceptions.

27. Si l'on se donne arbitrairement les cocfficienls/f,, p^, . . ., p;, ne contenant qu'un nombre fini de puissances de x~' , on peut toujours déterminer les autres coefficients />^+,, /);+2. . .. , p,„de telle sorte qu'ils soient aussi infinis d'ordre fini pour a; = o, que l'indice caractéristique soit I et que l'équation P = o ait exactement m — i intégrales régulières linéairement indépendantes données à l'avance.

Soient, en effet, y,, j^, ..., y,„( ces m — i données. Ecrivons qu'elles satisfont à l'équation P ^ o. Nous obtenons ainsi un système

THEORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

(le m — i équations (lu premier degré qui vont déterminer. les m — i connues pi^t, pt+i, .-.,/',„:

flm-i-~i„ /il'"y-, d"'-'y, (/"—'VA

Leur déterminant

dar --•

n'est pas identiquement nul, puisque (n^i) les fonctions y,, y^

Y,„^i sont supposées linéairement indépendantes. Soit Aj, le déterminant obtenu en remplaçant dans A^ la colonne des dérivées d'ordre m — i — k par les seconds membres. Ou aura

Or, lorsque la variable accomplit une révolution autour du point -mvo, les coefficients p,, p^, ..., pi reprennent leurs valeurs primitives, eL y^ < JKî) • ■ ■ . ym-i acquièrent des valeurs qui s'expriment en fonctions linéaires, homogènes, à coefficients constants des premières. Donc i^ et Ao sont multipliés par un même déterminant, dont les éléments sont les coefficients de la substitution qui permet d'exprimer les nouvelles valeurs de y,, y^, ..., y,n-i à l'aide des anciennes. Done/>,-+^ ne

change pas, el, par suite, les fonctions obtenues pour /),+), /»,+, /j,,,

sont monotropes dans le domaine du point zéro. L'équation dilférenlielie ainsi construite avec des coefficients monotropes, ayant au moins m — i intégrales régulières linéairement indépendantes, aura aussi (n''25j sescoefticients/>;^.|.pj+j, ...,/»„[ infinis d'ordres finis pour a.' = o et l'indice caractéristique sera égal ou inférieur à i. Mais on pculclioisir les arbitraires ja,,/»^, ..., pi de façon que l'on ait

n„, n„ n„ .., n,, <ii„

yGoosle

et alors l'indice caractéristifjue sera i. L'équation n'admet d'ailleurs pas plus de m — (intégrales régulières linéairement indépendantes (n" 26). On a donc ainsi une équation différentielle dont tous les coefficients présentent le caractère des fondions rationnelles, dont l'indice caractéristique est i, et qui a exactement rn~i intégrales régulières linéairement indépendantes.

Les coefflcîents/»,,/)^, ...,p,„de l'équation ainsi obtenue contiennent

m arbitraires :/),, /Jj, ..../',■, /i . Jï Xm^i- Oi voit donc que, dans

un grand nombre de cas. l'équation différentielle P = o, dont tous les coefficients sont infinis d'ordres finis pour a; — o et dont l'indice caractéristique est I, admettra exactement m ~ i intégrales régulières linéairement indépendantes.

28. Mais il est facile de se convaincre qu'il y a des exceptions et que l'équation peut avoir moins de m — i intégrales régulières, le vais en former un exemple.

Posons

dx •' cl considérons les deux équations différentielles

Formons l'équation savoir

, ^ d'y dr

OÙ l'on a

Toutes les intégrales de (i) et de (2) satisfont évidemment h (3), c'est-à-dire à (4) et inversement, comme (3) donne par l'intégration

THÉORIE DES ÉQUATIOSS DIFFÉRENTIELLES LTiNÉAIRES. 33

SI y est une solution de (4), ou bien y vérifiera l'équation (2), ou bien

— ■Ç, vérifiera l'équation (i). II résulte de là que, si (i) et (3) n'ont pas

de solutions présentant le caractère des intégrales régulières, l'équation (4) n'aura pas d'intégrales régulières.

Or, donnons-nous arbitrairement /j, et h :

c'est-à-dire que k est infmi pour x =: o d'ordre fini 4- Cet ordre étant supérieur à i, l'équation (2) n'a {n" 22) aucune intégrale régulière. L'équation non bomogène (i) n'a pas non plus de solution de la nature des intégrales régulières, car son intégrale générale est

j^e-/"''.:;C' -//;«/*•'' f/ar),

ou, en remplaçant h et k par leurs valeurs et effectuant l'intégration entre eroebets,

T = e-/'''-'[0:'^l -1- C, loga;Vj.

C, étant une constante, et la fonction [œ) renfermant dans son développement un nombre illimité de puissances de cc~' , comme e-^'"'^. Donc aucune des intégrales de (1) et de (2) n'est régulière, el, par suite, l'équaliou (4) n*a pas d'intégrales régulières. Elle est cependani de la forme

où la fonclion/(^) est boloinorphe dans le domaine du point zéro, car on a

L'indice caractéristique est 1, et, néanmoins, l'équation n'a pas une intégrale régulière.

La méthode précédente peut d'ailleurs se généraliser et permet de former des équations différentielles de fout degré, à coefficients infinis

34 l;. KLOyLioï.

d'ordres finis pour ir — o. qui n'ont pas m— i intégrales régLilIères

linéairement indépendantes, (étant leur indice caractcristiqne.

99. En résumé, l'équation différentielle P = o, dont tous les coefficients ne renferment qu'un nombre limité de puissances négatives de ^k, a au plus m — i intégrales régulières linéairement indépendantes. Si i = o, elle les a toujours. Si (' > o, elle les a dans un grand nombre de cas, mais il y a des exceptions. 11 s'agit donc maintenant d'approfondir nos recliercbes dans ee cas i>o, etd'arriver ^ préciser les conditions nécessaires et suffisantes que doit remplir l'équation différentielle pour avoir exactement m — i intégrales régulières. Nous sommes ainsi amenés à étudier plus profondément les équations dont les coefficients présentent tous le caractère des fonctions rationnelles. Observons encore que l'équation du second ordre qui nous a servi d'exemple d'exception s'est offerte à nous comme ayant ses intégrales communes avec deux équations du premier ordre. Cette remarque conduit à la notion féconde de la réductibilité, dans la théorie des équations différentielles linéaires.