DEUXIEME PARTIE

iZ. Nous allons étudier plus complètement les intégrales dans le domaine d'un point singulier a. El d'abord, pour plus de simplicité, j'amène ce point h coïncider avec l'origine des coordonnées en

ÏIIEOME DES ilQOAÏIOSS DIfFÈIlENTIELLES LINÉAIUES. l3

changeant xena + cc, ou eo - si le point est à rinfioi. Nous considérerons donc réquatioQ différentielle linéaire homogène , , (/'"r d"'-'r

où les coefficients p sont monotropes dans le domaine du point singulier zéro, continus et monogènes dans ce domaine à ce point près, et par conséquent déveioppables en doubles séries, procédant suivant les puissances entières, positives et négatives de a;, convergeiiles dans le voisinage du point zéro.

11 résulte des n"* 10 et 11 que toute solution pourra se mettre souw la forme suivante, dans le domaine de l'origine, et d'une seule manière :

Ca;'-. [9,,.+ tp,,, loga; -(- . . .+ 9,.,.(logjrj".] -!- C^x'^ [ç>,,o -h cp,,, log^ + ... + <p,,„,( !og:c)"= ]

les fonctions rp remplissant les mêmes conditions que les coefficients p.

a. J'emploierai la dénomination introduite par M. Fuclis à l'égard de toute fonction F susceptible de prendre la forme

F =xf[ijj, -n|'i '"S^ H-- . .-1- '^aliogxY],

que j'appellerai sa forme simplifiée, où les fonctions t|j sont holomorphes dans le domaine du point zéro et ne contiennent par conséquent dans leurs développements que des puissances positives de x, cl où, de plus, ces fonctions 1^ ne s'évanouissent pas toutes pour a; = o. Je dirai que la fonction F appartient à l'exposant p.

La propriété caractéristique d'une fonction de même nature que F, appartenant à l'exposant p, est que, multipliée par .r"?, elle est différente de zéro pour ic = o et intinie comme un polynôme entier en iogic, à coefficients constants.

15. L'équation différentielle P= o peut être telle que, parmi ses

intégrales, il s'en trouve où les coefficients des produits a;''(loga;)'.

c'cst-à-cliro, à :les facteurs constants près, les fonctions 9, ne contiennent danslcui's Jévelopperaents qu'un nombre iini de puissances négatives (le os. Ces intégrales particulières, où les m prennent pour x = lies valeurs infinies d'ordre fini, sont les seules, jusqu'à présent, pour lesquelles on ait déterminé les coefficients des séries çi. Je les appellerai, iUTC M. Tliomé, intégrales régulières de l'équation P = o. Considérons une intégrale régulière. Chacun' de ses lermes

est (îe tiièuit) nature que la fonction F du n" 14- et peut alors se ramener à la forme simplifiée. Il suffit pour cela de réduiie les y au plus simple dénominateur commun et de réunir ce dénominateur au Cacteura/'. Ou obtient ainsi le terme

et il appartient à l'exposant p. Toute intégrale régulière peut donc se iDctlre sous la forme

{\x'<' [ij^oH- 4'j, 1 loga: +, . .-■!- '['f, », (!og.ï^)"0

OÙ les G sont des constantes, oii les n termes appartiennent respectivement aux exposants p,, p^ p„, les fonctions ^ étant liolomorphes

dans le domaine du point zéro.

Il est bien entendu que les propositions énoncées an n" 11 subsistent ici, et que, en particulier, si l'expression suivante, de même naltiie que F et de forme simplifiée

x'[i{joH- 1^, log^ -h. . .-h 4'f (if'S^j'lest une intégrale, x^'^^n est aussi une intégrale.

16. Nous aurons surtout à examiner des équations différentielles P =,0 dont les coefficients p prendront eux-mêmes, pour x ~ o, des valeurs infinies d'ordre fini, c'est-à-dire dont les coefficients ne eontien-

TIIKORIE DES ÉQCATIO.NS DIVI'^ÉRE.NÏIELLES LISKAlTirS, 1 3

(Iront eux-mêmes, (.hms leurs développements, qu'un nombre iini i!e puissances négatives tle x. Dans ce cas, on pourra toujours supposer

chaque coefficient p mis sous !a forme ~r'< où /(a:) ne comprend que des puissances positives de œ, ne s'évanouit pas pour ir = o, et où n est positif ou nul ; et alors, nous désignerons l'exposant de x en dénominateur dans p, par w,, dans p^ par s^- ■• ■ ■ dimsp,„ par ro,„. Comme p„ est I, sTo sera égal h zéro. En un mot, wy sera l'ordre inflnilésimai de la valeur infinie que prend pj pour :v= o. Cela étant, nous envisag;el'ons les nombres entiers positifs suivants :

que nous appellerons les nombres II, et généralement w;+ m ~-j sera rcprcsenlé par 11^, Soit g la plus grande valeur des nombres II : plusieurs peuvent être égaux à g; mais rangeons-les dans l'ordre des indices croissants

IL, n,, n,, ..., H.,

et parcourons-les de gauche à droite; le premier, égal à g, que iious rencontrerons sera considéré tout particulièrement, et, si

est ce nombre bien déterminé, son indice i sera nommé Vùidice caracléris/ique de l'équation différentielle.

Les nombres tl et l'indice caractéristique i, introduits par M. ïhomé dans cette théorie, seront provisoirement d'un usage fréquent.

17. Notre analyse des solutions de l'équation P — o, dans le domaine du point zéro, aura surtout pour objet l'étude des intégrales régulières.

Je ferai immédiatement plusieurs remarques.

L'équation, P = o ayant des inlégraks régulières, si parmi elles S , et seulement S, sont linéairement indépendantes, auquel cas on a S'îm, toutes les intégrales régulières peuvent s'exprimer à l'aide de celles-là en fonctiims linéaires, homogènes, à coefficients constants.

Réciproquement, si toutes les intégrales régulières de l'équation P -^ o peuvent s'exprimer ainsi par S d'entre elles linéairement indépendantes,

l6 GASTON FLOQUET.

te nombre total des intégrales régulières linéairement indépendantes est seulement S; car on peut exprimer les S inlégraies régulières !iné;iircment indépendantes à l'aide de S des nouvelles, et pur suite toutes les autres à l'aide de ces dernières.

Si l'équation P = o a S intégrales régulières linéairement indépendantes, et seulement S, elle en aura S de même nature que ta/onction F du n° 14, etseulement S. Si, en effet, les S intégrales données ne sont pas de la nature F, elles sont des agrégats linéaires, homogènes, a coefficients constants, d'expressions F. Groupons alors, dans chacune de ces intégrales, les expressions F en termes tels que, dans deux termes quelconques, la différence des exposants des deux puissances x'^ en facteur ne soit ni nulle ni entière. Nous obliendrons ainsi des termes qui. comme on l'a vu, sont eux-mêmes des intégrales régulières linéairenient indépendantes, et ces intégrales sont de même nature que F. Or, ces termes sont au nombre de S, car, s'il y en avait plus que S, l'équation P = o aurait plus de S intégrales régulières linéairement indépendantes; et, s'il y en avait moins que S, les S intégrales données, et par suite, d'après la remarque précédente, toutes les intégrales régulières de l'équation P = o, s'exprimant linéairement à l'aide de ces termes, celle équation, d'après la même remarque, aurait moins de S intégrales régulières linéairement indépendantes. L'équation P = o a donc S intégrales linéairement indépendantes, de même nature que F, et appartenant par conséquent à des exposants déterminés.

Enfin, ]e vais établir la proposition suivante, qui a une importance capitale dans cette théorie :

Si l'équation différentielle P = o a parmi ses intégrales une intégrale régulière, elle a aussi une intégrale de la forme a;P|(a;), oii la fonction il'(^) sst holomorphe dans le domaine du point zéro et ne s'évanouit pas pour 07 = o.

En effet, l'équation P = o, ayant une intégrale régulière, a, d'après la remarque précédente, une intégrale de même nature que la fonction F du n" 14, que l'on peut supposer ramenée à la forme simplifiée

a-f [4'» + '\i'\o§,x -J- . . . ■+- Jj,(log.r)''].

Cette expression étant une intégrale, il en est de même, comme on l'a vu au n" 15, de œ^' dj^. Or, celte dernière solution est, dans tous les cas.

ÏITÉOfilR l>KS ÉQUATIONS DIFJ'ÉREJiTI ELLES I.INF.AIIIES. I7

(le la forme annoncée x'^ i|'(^}' '^ fonction iiolomorphe étant cliHérenle de zéro pour x = o, car, si iJjh(o) était nul, 4'b(^) renfermerait comme facteur nne puissance de œ que l'on réunirait à x^.

Remarquons que if{oc) ne contient dans son développement que des puissances positives de x.

18. Supposons que l'équation P ~ o admette la sol u lion j, = x^y\i{x). '^{x) étant lioîomorpiie dans le domaine du point zéro et 'l'(o) différeiU de zéro. Faisons la substitution

yr- yjzdx.

i\ous obtenons l'équation différentielle linéaire lioniogt'ne d'ordre

Leseoefru'.ientsçde l'éqnalion Q = o seront, comme les coeHicients/», monotropes dans te domaine du point zéro, conlinus et monogénes dans ce domaine à ce point près. C'est ce qui rcsullc immédiatement de l'inspection des valeurs des coefficients q :

En effcl, chaque produit -;^ — est de la forme

(lîi a est onlier, et, par conséquent, chacun de ces produits est mono-

ti'ope dans le iluiiiaiiic Ju point zéro, conliuu cl moiiogèiie dans ce (loiiiaine h ce point près. Il en est donc de même des coeilicienls <{.

Remarquons que, pour que les coetricients q possèdent ces propriétés, if n'est pas nécessaire que '\{3c) ne contienne clans son développement que des puissances positives de a; : il suffit que ''^{x) soit dévelop[)able en douille série, procédant suivant les puissances entières, positives et négatives de x, et convergente dans le domaine du point zéro.

Cela posé, je suppose que l'équation P = o ait S intégrales régulières linéairement indépendanles. Elle admet alors, d';iprès le tliéorème du n" 17, une intégrale/, = x^ '^{x), où '^{x) remplit les conditions susindiquées. Posons

de manière à olilenlr l'éiiuatlon Q = o; ye dis que l'équation Q = o aura S — i intégrales régulières linéairement indépendantes, et que, réciproquement, si l'équation Q = o a S — i intégrales régulières linéairement indépendantes, l'équation V = o en aura S.

i" Soient ji, y^, .... jj S intégrales régulières lincairemenl indépendantes de l'équation P = o. Comme on l'a vu, on peut les supposer de même nature que la fonction F du n" 14 et ramenées à la forme simplifiée. L'équation Q — o admettra les intégrales

qui sont aussi linéairement indépendantes, car, si l'on avait

C,ï,-i-C, î, + ...-hC. a,. = 0, on en déduirait par l'intcgralion

ce qui est contraire à l'Iiypotlièsc. De plus, ces S — [ intégrales sont régulières. En effet, y.^, y^, • ■ •> yi sont de la forme simplifiée; or, si l'on divise pary, — x^']f{x), on trouve une expression de même forme,

puisque les quotients tels que ^- dans la parenthèse sont évidemment liolomorphes. Donc les rapports '^î ■--% ■■■i -7 sont de la forme !■'. Il

THÉORIE MS lt(JL'ATIO\'S DIFFKRF.NTIKI.I.KS LINKAIRES. J f)

est clair que la dérivalion n'altère pas cette forme : donc les intégrales

dx Y\ dx 1', dx 7 ,

(le l'cqualion Q = o sont régulières,

2° Soient z,, Zj, ..., Sj__|j--r intégrales légulicres linéairenienl indépendantes de l'équalion Q = o. On peul les supposer do niômii nature que F et ramenées h la forme simplifiée. L'équation P ~ o admetli'a les s intégrales

qui sont aussi linéairement Indépendantes, car, si l'on avait

tnj\ + C,,n ^- ■•■■■(- C,r.= i>, on on déduirait par la dérivation

ce qui est contraire à l'Iiypollièse, De plus, ces s intégrales sont régulières. En eiïet, chacune des solutions z est de ta forme simplifiée ([ui comprend des fonctions ^b de la forme

Si donc nous multiplions s par <}x, nous aurons à intégrer une sonmie de din'érentielles telles que

dont l'intégrale est bien connue :

l x''[\i3^x'''dx —: \ C. Jlogx/'~°H- con.si.

ftIuUipliant ensuite le résultat de l'intégration Jzdœ par j, —- x^'\[x), on voit aisément que le produit obtenu est aussi de la forme F. Donc les intégrales/,, r^. . . . , y, de l'éqviaiion P == o sont régn libres.