Soit l'équation différentielle linéai

dx'" ' "' </*■"■

dont les coefficients^, dans le domaine du point zéro, sont développables en séries convergentes, procédant suivant les puissances entières, positives et négatives de x, mais ne contiendront désormais qu'un nombre limité de puissances négatives.

Je vais définir la fonction caractérislique.

Dans l'expression différentielle P(y), faisons la substitution/— x^'. Nous obtenons ainsi une fonction de x et de p, P(^''), que nous appellerons avec M. Frôbenius Xa. fonction caractéristique de l'équation différentielle P = o ou de l'expression différentielle P.

Nous avons déjà eu l'occasion de former la fonction caractéristique

THÉORIE DES ÉQCAÏIOXS DIFi'ÉRENTIEl.LES USÉAir.ES. 35

ti'une équation différenlicHe, car c'est elle que nous avons rencontrée au n" 23 pour l'équalion particulière

dx"' ~^ X rl.x"—' ~^ x' dx"—'' "■■■*' ^u, J ^ ■

Formons actuellement la fonction caractéristique de P; nous obtenons

l'(^p) — ^fi'-^-^^ — ^ '" -'^ ■ Li^p^t/ L . V„ i: ^ ?.^-'--I1jL|-...|^,,^^^, £ |-^,^ .

J'en déduis

.1' ,■ f-ip — l'j. , .(& — «î -i- il pu —■[].. .[a — m -v- i)

D'où l'on voit que le produit x~'^V{œ'^) peut être, comme les coefficients p, développé en une série procédant suivant les puissances entières de X, ne contenant qu'un nombre limité de puissances de x~* et dont les coefficients sont des fonctions entières de p du degré m au plus.

31 . Si l'expression différentielle P est donnée, sa fonction caractéristique P(a:;P) est connue.

Inversement, supposons que la fonction caractéristique soit donnée sous la forme x^/[x, p),f[x, p) étant une fonction entière de p dont les coefficients sont des fonctions de x. On connaîtra aisément l'expression différentielle.

En effet, une fonction entière de p-,/{x, p), de degré m, peut toujours se mettre, cl d'une seule manière, sous la forme

/(^, p; = M,„pip-i).,.(p — mH-i)-^«,„,p(p — !)-..(p-'H + 2)+...

-f-M,pip-i; -^«,p + M.,

où l'on a

,^ rA;-'/(^.Pii,..