en posant

f\x, p + i]—f\x, pi = i,,/(i, f ).

On en déduit

Donc cc'''/[x,q") est la fonction caraotcristiqne ite l'expression difl'éronlielle

dx'" "'"' dx"'~' ' ' ' ' dx

32, Nous avons vu que le produit

pouvait être développé en une série procédanl suivant les puissances ascendantes de x et limitée à gauche, dont les coefficienis sont des fonctions entières de p de degré m au plus. Cherchons le premier ternie à gauche dans celte série. Il est visible que les exposants de x dans les dénominateurs de x~^ï'{x^) sont successivement les nombres

a, n„ n., ..., n,„-,, il,

définis au n° 16. Si donc g est leur plus grande valeur, le premier

ferme de la série est de la forme — ^, Of c) étant une fonction entière

de p, indépendante de x. Quant au degré y de cette fonction en p, égal .lu plus km, il est évidemment

i étant l'indice du premier nombre II égal à g; c'est-à-dire i étant l'indice caractéristique. Dans le cas particulier i^o, l'équation G(f!) ~ o, de degré m, n'est autre chose que l'équation mentionnée au n" 23, et que M, Fuchs a nommée V équation fondamentale déterminante.

Nous généraliserons alors cette dénomination, et nous appellerons dans tous les cas et plus simplement équation déterminante de l'équation différentielle P = o ou de l'expression P l'équation G(fi)= o. Son premier membre Gip) sera lu fonction déterminante.

TUliOlilE DES ÉQUATIONS DIFI'lillliNTIELLES USÉAIUES. O;

Ainsi, pour obtenir la fonction déierminante d'une expression difi'érciilielle, on formera sa fonction caracléristlqiie, qu'on multipliera par x~^, puis on développera le produit suivant les puissances ascendantes de a; : le coefficient du premier terme sera la fonction déterminante. Remarquons que, ayant g, il suffit de multiplier la fonction caractéristique par ;r^~P, puis de faire œ ^ o:

33. J'établirai immédiatement quelques propriétés de l'équation déterminante de l'expression différentielle P.

Je remarque d'abord que, si /j,„ est identiquement nul, la fonction caracléristique, et, par suite, la fonction déterminante, est divisible par p. Si l'on effectue cette division, et que l'on change ensuite p en p -t- I dans le quotient, on obtiendra, en égalant à zéro, l'équation déterminante de l'équation différentielle d'ordre /« — i obtenue en pre-

dr nant pour inconnue -j- ■

On aperçoit encore de suite que, si dans l'équation P = o on pose

l'équation déterminante de l'équation différentielle en w ainsi obtenue aura pour racines celles de l'équation déterminante de P = o, diminuées depo. En effet, la fonction caractéristique de l'équation en w, P(a;P»(ï')=o, est P(icP«"*P). Elle se déduit donc de la fonction caractéristique P(a;P) de l'équation en y, en changeant p enpfi-hp, et, par conséquent, il en est de même des équations déterminantes.

Enfin, si dans l'équation P = o on pose

ij;(^) étant une fonction holomorpbe dans le domaine du point zéro, et non nulle pour x — o, l'équation déterminante de l'équation différentielle en fp ainsi obtenue sera la même que celle de l'équation eny. En effet, on voit sans peine que, l'équation en vc étant de la forme

JO G, fLOyUET.

sa fonction cafactéristique est la somme de deux termes. Le premier lei'me

est la fonction caractéristique de Téquation en y, et, dans le second terme,

le plus haut exposant de a: en dénominateur est inférieur au plus haut g' dans les dénominateurs du premier terme. D'où il résulte que, si l'on multiplie par x^~^, puis qu'on fasse a; = o, pour obtenir la fonction déterminante de l'équation en w, le second terme s'évanouira tout entier, et l'on obtiendra par conséquent le même résultat qu'en opérant sur le premier terme seul, c'est-à-dire la fonction déterminante de l'équation en y.

Il suit de ces diveÈ'ses propositions, p,, p^ pv étant les 7 racines

de l'équation déterminante de P :

i" Que si, dans P = o, on pose

où r, est une intégrale de la forme icP» if(a.'), 4'(^) étant holomorphe dans le domaine du point lévo, et non nul pour ^r = o, l'équation différentielle en if, homogène par rapport aux dérivées, ainsi obtenue, aura une fonction déterminante dont les racines seront

et que, par conséquent, comme cette fonction est divisible par^î, l'une des quantités p,, p.^, . .., p^ eut égale à p^, soit p, ~ pi^; 2" Que, si l'on pose ensuite dans l'équation en w

la fonction déterminante de l'équation en z sera de degré 7 — r et aura pour racines

THEORIE UF.S K(ÎUATIOSS DlrrÉHESTIELLES LINÉAIRES. ^g

3" Que si, par conséquent, dang P = o, on fait la sabstilution

réqualioii en z, tl'orilre m — i, ainsi obtenue, aura pour équalion déterminante l'équation de degré 7—1, qui admet comme racines