La relation simple

entre l'ordre de l'équation différentielle, son indice caractérislique et le degré de son équalion déterminante permet de substituer à la notion de l'indice caractéristique la considération plus rationnelle de l'équation déterminante. L'indice caractéristique d'une équation différentielle n'est autre que la différence entre l'ordre de cette équation et le degré de son équation déterminante.

Dès lors, toutes les |)ropositionë concernant l'indice caractéristique, relatives, par conséquent, à des équations différentielles dont tous les coefiicients sont infinis d'ordres tinis pour x =: o, pourront s'exprimer à l'aide de l'équation déterminante.

C'est ainsi que nous énoncerons de la manière suivante la proposition du n" 26 :

Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de l'équation P — o est, au plus, égal au degré de son équation délerminanle.

35. On peut d'aiîleui's se faire une idée encore plus nellc de la fonction caractérislique et de la fonction déterminante de l'équation différentielle P = o en mettant cette équation sous une certaine forme.

Écrivons-la ainsi :

„, , I d'"y p, d"'-'r !>,„--• dy

■ '' ' X'" dx'" X"- ' </.r" " X itx '^ ■'

Réduisons les fractions

au plus simple tléuorainaleiir commun a^, puis mulliplions lout par L'équation différemielle deviendra

OLi les séries n„, n,, .. ., n^ contiennent seulement des puissances positives de x, et ne s évanouissent pas toules pour i» = o.

Nous appellerons cette forme du premier membre d'une équation (lifiereiilielle sa/orme normale.

La fonction caractéristique de l'expression différeniiello N est

N(arf) = are[H,p(ç-i)...(p-m + il + H.p{p-i)...(ç-'H^3)-l-.. +»,„,p + «,„];

par conséquent, le produit ir~PN(irP)ne contient que des puissances positives de a; et n'est pas nul pour a; = o. Son terme constant est la fonction déterminante.

Inversement, on voit facilement qiie, si une expression différentielle a une fonction caractéristique remplissant ces conditions, elle a la forme normale. On peut donc, par l'examen de la fonction caractéristique, reconnaître si une expression différentielle a la foi'me normale.

30. Je vais définir ce qu'on entendra par une expression différentielle composée, et en démontrer une importante propriété. Soit l'expression différentielle

Je considérerai la lettre A comme un symbole d'opération, de telle sorte que kly) indique une opération définie à effectuer sur/ :

' dx'-'

Cela étant, A(B), ou simplement AB, indiquera la même opération effectuée sur B. Si alors B est une seconde expression différenlielle, AB représentera aussi une expression différentielle C, et nous dirons que l'expression AB^C, obtenue en effectuant sur B les opérations

ÏIIÉOilIE UES ÉlJUATIOXS Oll'FÉRE.NTlELLliS LISÉAIIŒS. 4 I

indiquées parle symbole A, esl composée des expressions AelB, énoncées dans cel ordre.

Même définition pour une expression composée de plus de deux expressions.

Si les coefficients des expressions composantes ne contiennent qu'un nombre limité de puissances négatives de w, comme on le suppose ici, il est clair qu'il en est de même des coefficients de l'expression composée.

Soit AB = Cet soient

C{x^]=xH {x, ry, --^Sh {p)x-'^''-

les fonctions caractéristiques des expressions différentielles A, B, C. On a

c'est-à-dire

Il résulte de cette égalité que, si A et B ont la forme normale, comme alors h^{p) et K{p) s'évanouissent pour les valeurs négatives de /t et

de V, mais non pour la valeur nulle, \ hSp)^''' ne contiendra que des puissances positives de œ et sera diff'érent de zéro pour ic=o. Donc {n" 35), la fonction caractéristique de C, divisée par x^, remplissant ces conditions, C aura lui-même la forme normale. Do plus, si nous faisons a: = o dans la même égaillé, nous aurons entre les fonctions déterminantes de A, B, C cette relation simple

D'où celte proposition :

Si une expression differentietie est composée /te ptiisieurs expressions

42 i;. FLOQULT.

différentielles déforme normale, elle a elle-même la forme normale, el sa fonction déterminante est le produit des fondions déterminantes des expressions composantes.

Le degré de l^^ p] est, par conséquent, la soniiiie des degrés de h^{p') et de A-Jp).

Plus généralement, on peut remarquer que, si deux des trois expressions A, B, C ont la forme normale, il en est de même de la troisième.

37. Je vais maintenant m'oceuper, en vue des recherches ultérieures, de la réductibilitc et de l'irréductibilité de l'équation différentielle P = o. L'introduction de cette notion, outre qu'elle nous sera d'une utilité capitale, aura l'avantage de mettre une fois de plus en évidence l'analogie si complète des équations différentielles linéaires avec les équations algébriques.

Une équation différentielle linéaire homogène, dont les coefFicienls ne contiennent qu'un nombre limité de puissances de x~\ sera dite réductible lorsqu'elle aura au moins une intégrale commune avec une autre équation différentielle linéaire homogène, d'ordre moindre, et dont les coefficients présentent le même caractère. Dans le cas contraire, l'équation sera dite irréductible.

Par exemple, l'équation du second ordre

que nous avons rencontrée au n" 28, est réductible, puisqu'elle admet toutes les intégrales de l'équation du premier ordre

Nous formerons tout à l'heure des équations irréductibles.

THÉORIE DKS ÉQUATIOSS DIFFÉRENTIELLES LIXÉURES. /|3

deux expressions différenllelles, de même nature que P, et où l'on a

jf > 5 et a — 6^ x.

Je dis que, si Q désigne le symbole d'opération d'-'Y

on pourra toujours mettre A sons la forme

les q ne contenant qu'un nombre limité de puissances de x~' , et R représentant une expression différentielle de même nature que A, B, Q, mais (l'ordre inférieur à /S.

Si, en effet, on dérive B Jt fois, on obtient

S ""Va:»-"^"" ri»! ' ""

rf'B ^ d'y d'-'f

, rf>r

les i( ne contenant qu'un nombre limité de puissances de x~', et les U étant des expressions différentielles d'ordres inférieurs à |^, et à coefficients de même caractère que les u. On déduit de là la valeur de la somme

^ dx' ' dx^ ' '

c'est-à-dire la valeur de QB :

QB -: qX yr- + (?.«,. -f- q^b,) ■-.-^, -+- (?„«„, + g.«.,., -^ q-A) -^^ -!-.-.

-+- (9,«„ + ^,«-,,.,, H-. . .+ q,-,u„ -+- qj„]

dst->

h ï„u, + ^,u,.., +. . . + ç.. ,u, + îJ 6, — ^ -h, . - /»,r

yGoosle

Déterminons (]o> ^h', '!i^ • ■•• ?■/. P^r les condilioiis suivantes, ce qui est toujours possible :

ijni'-ii -l-i/i6„^^ n,,

nous trouverons évidemment des valeurs ne contenant qu'un nombre limité de puissances négatives de ir, et nous aurons

U étant d'ordre inférieur à /5. Or cela peut s'écrire

A'-QÎ( + U,

en posant

dx^ ■'

expression différentielle d'ordre inférieur à ^, et dont les coefficients présentent le caractère des fonctions rationnelles. Il résulte de l'égalité

A = QB H- Il

que toute intégrale commune aux deux équations A — o et B = oesl une intégrale de R = o, et que, inversement, toute intégrale commune aux deux équations B = o et R = o est une intégrale de A = o.

39. Supposons que toutes les intégrales de B = o satisfassent à A= o ; alors elles satisfont aussi àR — o. Mais l'équation R = o, étant d'ordre inférieur à |3, ne peut adniettre |3 intégrales linéairement indépendantes que si R s'évanouit identiquement. D'où cette proposition :

Si l'équation A =: o admet toutes les intégrales de l'équation B ^ o, A se met sous la forme composée A = QB.

Remarquons que Q est d'ordre « — j3, et que, d'après le n" 36, si A etB ont la forme normale, il en sera de même de Q.

40. Supposons l'équation B = o irréductible, et imaginons qu'elle ait une intégrale commune avec l'équalion A — o, auquel cas l'ordre

TIIÙOiUE DES ÉQL'.VnOSS lUrreUESTlELI.l' S l.lNKAIIir.S. /JD

de A esl au moins égal à celui de B, sans quoi B = o sérail réductible. On a alors l'égalité

et l'intégrale commune vérifie R = o. MaisB — o, étant irréductible, ne peut avoir aucune intégrale commune avec l'équation R — o, qui est d'ordre moindre. I! faut donc que R s'évanouisse identiquement, et, par suite, on a l'identité,

ce qui donne cette proposition :

Si l'équation A — o admet une intégrale de l'équation irréductible B = o, elle les admettra toutes.

41. A ctB étant deux expressions différentielles d'ordres respectifs a et p, il est facile d'obtenir l'équation différentielle qui donne les intégrales communes aux deux équations A = o et B = o.

J'opérerai comme dans la recherche d'un plus grand commun diviseur.

Soitaïi?. On a

A..-QIJ-ult,,

et les intégrales communes àA— oeLiiB = o sont les solutions communes à B = o et à R| = o. On aura donc ainsi successivement

A -^ QB -^lï,,

Si C|, 'Ta, o-j, ... sont les ordres respectifs des expressions dilïérentielles Rf, Rs- Bi,, .... on a les inégalités

«>;5>7,>7,>7,>..., d'où il résuite que Cy s'évanouit au plus tard pour^— /3. Soient