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Alors Rt^| est égal ou à uy., u étant une fonction de ce, on à zéro. Dans

qU G. FLOQUET,

le premier cas, les doux équations A = o el B=o ne sont vérifiées simultanément que pour j = o, c'esL-à-dire qu'elles n'ont aucune intégrale commune. Dans le second cas, A = o et B = o ont des intégrales communes qui sont les solutions de l'équation difîérentielle R^ = o. De là celte proposition :

Si l'équation A = o esl réductible, il existe une équation D = o, d'ordre moindre, dont elle admet toutes les intégrales.

4-2. 11 résulte du tliéorème précédent et de la proposition du n" 39 que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation A — o soit réductible est que A puisse se mettre sous la forme composée A ■ - QD ,

où la somme des ordres n et ô de Q et de D est égale à l'ordre a de A. Tel est le caraclère d'une équation réductible.

On sait qu'étant donnée une équation algébrique de degré cî, ayant toutes ses racines communes avec une autre, de degré ■/. -i-, 5, on peut ramener la détermination de loutes les autres racines à ta résolution d'une équation de degré x. Be même, connaissant D, on pourra intégrer l'équation dilTérentielle réductible A = o au moyen d'une équation ditïerentielle Q = o, d'ordre a., en prenant pour inconnue D.

43. Il est facile de reconnaître l'existence d'équations différentiellrs irréductibles de tout degré.

Je vais en effet former une équation irréductible A = o d'ordre donné «. Je formerai d'abord sa fonction caractéristique A{x^); j'en déduirai (n" 31) ensuite A.

Dans ce but, je prends au hasard une fonction entière de p, h{x, p), de degré «, dont les coefficients ne contiennent que des puissances positives de X et ne soient pas tous nuls pour a; = o :

h{x, p) = lh{p) +■ /i,[p]x -+- h,{p]x' -i- . . .,

de sorte que A|,(p) n'est pas identiquement nul. J'assujettis simplement la fonction h{o!;, p) à deux conditions, savoir : Ao(p) sera une constante etA, (fî) sera de degré a.

Cela posé, il existe UJie expression difTérentielle A, de forme nor-

TUÉOIUE DES ÉQL'ATIOSS D 1 FIÉ REMI tL LES LISÉ.\IRES. Z|7

, qui iidmet pour fonction caractérislique so^hiœ, p) (n" 35), et

où «a et -^ ne s'évanouissent pas pour x -— o, à cause des deux conditions imposées à h{x, p).

Je dis que l'équation A = o est irréductible.

En effet, si elle était réductible, il existerait (n" 4.1) une équation D — o, d'ordre moindre §, dont elle admettrait toutes les intégrales, et l'on pourrait mettre A sous la forme composée