A = QI

Q étant une expression d'ordre y. tel qu'on ait

On peut d'ailleurs supposer que Q et D ont la forme normale comme A. Or, soient

les fonctions caractéristiques des expressions Q et D ; leurs degrés en p ne surpassent pas, comme on sait, les ordres a et â. La formule du n" 36 donne les deux identités

/..(p)=».(plÇ.(p),

D'après la première, Ao(p) étant une constante, r,a{p) et 'Ça[p) sont eux-mêmes constants; par suite, d'après la seconde, la fonction h, (p), qui, par hypothèse, est de degré «, serait identique à une fonction dont le degré n'est pas supérieur au plus grand des deux nombres k et ô, ce qui est impossible. Donc l'équation A = o est irréductible.

Remarquons que h„{p), vjoip) et Ço(p) sont les fonctions déterminantes de A, Q et D, de sorte que la fonction déterminante de A est une constante.

Ainsi donc, par la méthode précédente, on peut former des équations différentielles irréductibles de tout degré.

48 G. l'LOQUET.

44. Av.iiil d'uliliser les considérallons qui prétèdeiiL pour l'objet de iiolre étude, la reclierclie des inlégrales régulièi'es, je vais les appliquer à la décomposition des expressions différentielles linéaires, homogènes, a coefficients constants.

Soit l'équiition difl'érentielle

oii les p sont des constantes.

i" L'expression différentielle V peut se mettre sous ia forme composée P = AQ, , les expressions A el Q, étant respectivement d'ordres i et m — I et de même nature que P.

Soient, en effet,

où les coefficients a et y sont des constantes que je vais déterminer. Je forme AQ, et je l'identifie avec P. J'obtiens ainsi les équations

q,-<iq.=p,

-,-<ui.-, = p.

qui donnent toujours des valeurs constantes poui' q^, q-,. ■ ■■ , q,,,^,. a, car on a

et a est racine de l'équation

a- -1- p, a'"- ■• -f- ;>,«"'-■' -^ . . . ^- /;,., ,u -,- jj,. ^ o. Uemai'quons que cette équation n'est autre que

yGoosle

THÉORIE DES ÉQUATIONS D IF rÉREHÏl ELLES LISÉAiaKS. /}9

2" L'expression différentielle P peut se mettre sous hi forme composée

1> = ABC...IIKL,

les m expressions A, B, . . ., K, I. clant du premier ordre et de même nature que P.

En effet, je mets P sous la forme P= AQ,, puis Q, sous la forme Qi ^^BQj, et ainsi de suite. Finalement, j'obtiens Q,„, = KQ„,, Q,„ étant du premier ordre. J'aurai donc, en posant Q,„ = L,