QUATRIEME PARTIE
45. Revenons maintenant à la reclierche des intégrales régulières, et appliquons les considérations précédentes. Nous envisagerons toujours l'équalion
OÙ les coefïïcients/) ne contiennent tous qu'un nombre limité de puissances négatives de œ.
J'observe d'abord que, si l'équation P = o admet une intégrale régulière, cette équation est réductible.
En effet, si P = o a une intégrale régulière, elle a aussi (n" 17) une intégrale de la forme a;? ^(a;), où "^{x) est une fonction holomorphe dans le domaine du point zéro, et non nulle pour ^ — o. Or, cette dernière solution satisfait à l'équation du premier ordre
■^ ''^ '"^^ 2 ^ ^'"'^ '"^^ "^ "^ '■^' ^^''^^~ "" "' où le coefficient /?, de j' est nécessairement de la forme ''-- (n° 22) ; ce qui d'ailleurs est visible :
Donc l'équation P — o est réductible.
5o i:.. iLoiH'i;'!'-
Ainsi, quand l'équation P = o admet une intégrale régulière, elle admet les intégrales d'une équation différentielle du premier ordre ayant ses intégrales régulières.
46. Remarquons ensuite que, si dans l'expression P on fait la substitution
y=z F -^ ^' [o, -'r- o, [Ogx ■ I- ... -1- Vi [iOgx]'-] ,
où les CI ne contiennent qu'un nombre limité de puissances de a;"', on obtient pour PF une expression de même nature
l'I- :... x-'iY^, -^ /, loga: r , . . + y: { \osxr], les;; ayant le même caractère que les y. Cela résulte immérliatenvcnt de ce que-i- est de même forme que F.
On peut en conclure que, ai dans l'équation diiréreiuielle linéaire non homogène
u est de la forme
les séries u,, u^ u^ contenant toutes ou en partie un nombre illimité de puissances de <v~', cette équation ne pourra avoir aucune intégrale telle que F. En effet, PF — « serait identiquement nul. Or (n" II), si la différence s— /■ n'est ni nulle ni entière, on en déduirait que tous les coefficients / et u sont nuls identiquement, et, si la différence s — rest nulle ou entière, on en déduirait
ce qui est impossible, puisque tous les ;( ne contiendraient pas un nombre limité de puissances de x~'.
47. Une intégrale /, de l'équation différentielle AB — o satisfait h l'équation B = o, ou bien, si B(7,) n'est pas nul, 6(7,) satisfait à l'équation A = o.
Or, soient w,, w^, ,.., w^-^ les intégrales régulières linéairement indépendantes de B ^- o, et li',, tPj, , . . , iv,,, j',, y.,, . . . , r, celles de AIÏ = o.
yGoosle
THÉORIE DKS ÉQL'ATIONS DIFFÉRENTIELLES LIKÉAIIIES. 5i
B(7i)' ^ifi)' ■■■' '^{js) sont alors des intégrales de A — o, elmème des intégrales régulières, d'après le n" 46; de plus, elles sont linéairement indépendantes, car, si l'on avait
les G étant des constantes, on en déduirait
et par conséquent C,j, H- C^y-. H- . . . -i- Cjy, serait une intégrale et même une intégrale régulière de B = n ; il en résullerait {n° 17) nnc égalité de la forme
les C'étant constants ; or cette égalité est impossible, puisque, par hypothèse, w,, w^, .... fVi, y,, y^, ■■., yi sont linéairement indépendants. Par conséquent, si l'on considère toutes les intégrales régulières linéairement indépendantes de AB = o, on voit que les unes sont toutes les intégrales régulières linéairement indépendantes de B — o, tandis que les autres correspondent à un nombre égal d'intégrales régulières linéairement indépendantes de A — o.
D'où celte proposition :
L'équation différentielle AB ^ o a au moins autant d^ intégrales régulières linéairement indépendantes que B = o, et au plus autant que A — o ei B — o ensemble.
Les deux limites du nombre des intégrales régulières de AB = o coïncident si A= o n'a aucune intégrale régulière. Donc :
Si l'équation différentielle A. — o n'a aucune intégrale régulière, les intégrales régulières de AB =3 o sont les intégrales régulières rfe B = o.
J'énoncerai encore ce théorème ;
Une équation différentielle composée de plusieurs équations différentielles a au plus autant d'intégrales régulières linéairement Indépendantes qu'en ont ensemble les équations composantes.
D'où il résulte immédiatement que :
Une équation différentielle composée de plusieurs équations différen-
délies dénuées toules d'intégrales régulières, n\i elle-même aucune intégrale régulière.
48. Considérons l'équation dlfTérentielle P — o, d'ordre m. Si elle a une intégrale régulière, elle aura (n" 45) une intégrale régulière eommune avec une équation B, = o du premier ordre, et, par conséquent, elle admettra toutes les intégrales de B, = o. Donc {«" 39) P ?e mettra sous la forme composée
P = Q,lf,,
où Q( est d'ordre m— i. De même, si Qj = o a une intégrale régulière, Qi se mettra sous la forme
où Bj^o est une équation du premier ordre ayant une intégrale régulière et où Qa est d'ordre m — a. En continuant de la même manière, on mettra P sous la forme
V = Ql>, OÙ l'on a
T)=RjV,...B,B,,
les Bégaies à zéro donnant des équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière, et Q = o étant une équation différentielle d'ordre m — (3 n'admettant aucune intégrale régulière.
Remarquons que, si P a ta forme normale, on pourra supposer qu'il en est de même de Q, Bp, Bp, , .... B,.
Cela posé, il résulte du n" 47 que les intégrales régulières de P = o sont les intégrales régulières de D — o. Si donc on suppose que P =; o ait toutes ses intégrales régulières, D — o, qui est d'ordre ^~m, devant avoir m intégrales linéairement indépendantes, aéra nécessairement d'ordre [5 — m; par suite, Q est d'ordre zéro, et l'on a
D'où ce théorème :
Si l'équation différentielle P = o a toutes ses intégrales régulières, on peut la composer uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière.
THÉORIE DES ÉQUATIOSS DIFFKRE^TIFJ,LES LINÉAIRES.' 53
