Réciproquement

Si l'équation différentielle P = o est composée uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière, elle aura toutes ses intégrales régulières.

Supposons d'abord deux équations composantes

Soient y, une inlégrale régulière de B, = o et s^ une de B^ = o. y, vérifie P = o. Une solution/, de B, = s^ vérifiera aussi P =; o. Or on a

forme, y^ est aussi une intégrale régulière de P = o. D'ailleurs, y, et Yi sont linéairement indépendants, car, si l'on avait identiquement

C,i',-i-ar, fy^ t/x=:o,

en divisant par'/,, puis dérivant, on déduirait C^ = o, et, par suite, C, = 0.

Supposons ensuite trois équations composâmes

Soient jKi une intégrale régulière de B, = o, Zj une intégrale régulière de Ba = o et 23 une de B3 = o. Soient j, et/^ les deux intégrales régulières linéairement indépendantes de BaB, =0, trouvées précédemment; on a

- dx\

-■="fà''

y, ety^ vérifient P ~ o. Une solution y^ de l'équation B^ B, = Sj vérifiera aussi P = o. Or, on connaît deux intégrales y, et 72 de l'équation privée du second membre z^, de sorte qu'on a y^ par une équation du premier ordre qui donne

fij étant le eoefficieiU de -,- dans It^; d'où l'on voit cjuejj a la forme

régulière. D'ailleurs, les trois intégrales y 1,7^. /s de P = o sont linéairement indépendantes, car, si l'on avait une relation identique de la forme

en divisant par j,, dérivant ensuite, puis divisant psr -'■'-; et dérivant,

on en déduirait C3 — o, et par suite, en remontant, Ca = o, C, — o.

On passerait de même au cas de quatre équations composantes, et, en continuant ainsi, on prouvera que l'équation P=^o, d'ordre m, a m intégrales régulières linéairement indépendantes. Donc elle les a toutes.

50. Nous avons vu que, si l'équation P = o a une intégrale régulière, on peut mettre P sous la forme composée

P = QD,

oii Q = o n'a aucune intégrale régulière et où D — o est composée uniquement d'équations du premier ordre ayant cliacuiie une intégrale régulière. Il résulte alors du n" 49 que D = o a toutes ses intégrales régulières, et du n" 47 que P = o les admet toutes sans en admettre d'autres.

On peut donc énoncer les lliéorèmes suivants :

Si l'équation différentielle P ~ o a des intégrales régulières, il existe une équation différentielle D = o dont les intégrales sont toutes les intégrales régulières de la première.

Si D := o est Véquation différentielle qui donne les intégrales régulières de l'équation V = o, et si l'on met P sous la forme composée

P=Qn,

l'équation Q — o n'aura aucune intégrale régulière.

51 . On peut facilement généraliser la proposition du n" 49. Soient; en effet, A = o, B = o deux équations différentielles ayant

toutes leurs intégrales régulières : d'après le n° 48, on peut les com-

ïlIÉOlilK 1>LS ÉyDATlOSS BIFFÉRENTI ELLES LISÉAIBES. 55

poser uniquement d'équalioiis liu premier ordre admetlant chacune une intégrale régulière. L'équation AB = o sera alors composée de la même façon. Donc (ii" 49) toutes ses intégrales seront régulières. D'où cette généralisation :

Si l'équation différenlielle P — o est composée uniquement d'équations ayant chacune toutes leurs intégrales régulières; elle aura elle-même toutes ses intégrales régulières.

52. Il résulte du n" 50 que l'on peut mettre une expression différentielle A sous la forme composée

A — QD,

où D = o u'îi que des intégrales régulières et Q — o auenne. Supposons que B = o n'ait que des intégrales régulières. Oii a

AB = Q(DIÎ).

Or, d'après un théorème du n" 47, les intégrales régulières de AB — o sont les intégrales régulières de DB = o. Mais {n" 51 ) DB = o n'a que des intégrales régulières. Donc le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de AB = o est la somme des ordres de B et de D, ou, ce qui est la même chose, la somme des nombres d'intégrales régulières linéairement indépendantes de B et de A. D'où cette proposition :

Si l'équation B =o n'a que des intégrales régulières > l'équation AB := o aura exactement autant d'intégrales régulières linéairement indépendantes qu'en ont ensemble A — o eï B = o.

On en tire celte conséquence :

Si B ^^ o n'a que des intégrales régulières et si AB ^^ o en a s linéairement indépendantes, A = o en aura s — ^'j, ^i étant l'ordre de l'expression B.

53. Je vais à présent montrer comment les propositions précédentes permettent de rattacher les intégrales régulières de l'équation différentielle P= o à son équation déterminante. Et, d'abord, je ferai une remarque importante sur l'équation différentielle du premier ordre.

56 G, ILOflUET.

Soil l'équation du premier ordre

dr "'T^ + ">■='•■

que j'ai mise sous sa forme normale, où, par conséquent, « et tp ne contiennent que des puissances positives de x et ne sont pas tous deux nuls pour œ = o. L'intégrale générale est

On a déjà vu au n° 22 que, si u n'est pas nul pour tx = o, y est une intégrale régulière de la forme x'' '^{x), tandis que, si u pour a; = o est un zéro d'ordre n, auquel cas fp n'est pas nul pour x = o, on a

qui n'est pas une intégrale régulière. >}'(*) ne contient que des puissances positives de x, et <]> (o) n'est pas nul.

Soient u^ et iVg les valeurs de uelw pour œ = o. La fonction caractéristique de l'équation considérée est

et sa fonction déterminante est

Donc, dans le premier cas «o ^ o. où l'équation a ses intégrales régulières, la fonction déterminante est une fonction entière de jî du premier degré, et, dans le second cas u^ = o, où l'équation n'a aucune intégrale régulière, la fonction déterminante est une constante. D'où la réciproque.

54. Les propositions établies aux n"-' 22 et 26, en partant d'équations différentielles dont tous les coefficients n'étaient pas infinis d'ordres finis pour x^=^o, peuvent se retrouver immédiatement à l'égard de l'équation P = o, où tous les coefficients présentent le caractère des fonctions rationnelles.

i° Si l'équation différentielle P= o a toutes ses intégrales régulières, le degré de son équation déterminante est égal à son ordre.

THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFrÉRENTIELLES LISÉAIUES, 5"]

En effef, l'équation P = o, d'ordre/», ayant toutes ses intégrales régulières, on peut (n^-iS) la composer de m équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière. Les m + i expressions peuvent d'ailleurs être supposées mises sous forme normale (n" 48). Or, d'après le n" 53, la fonction déterminante de chacune est du premier degré. Donc la fonction déterminante de P, qui est le produit (n° 36) de ces m fonctions du premier degré, sera de degré m.

Comme on sait, M. Fuchs a démontré que réciproquement :

Si l'équation déterminante est du degré m, l'équation différentielle P~ o a m intégrales régulières linéairement indépendantes, et par suite toutes.

2° Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de l'équation différentielle P ^ o est au plus égal au degré de son équation défenninanle .

En effet, l'équation P — o, ayant s intégrales régulières linéairement indépendantes, peut se mettre (n" 50) sous la forme composée

où Q = o n'a aucune intégrale régulière et où D = o est d'ordre s et a toutes ses intégrales régulières; P,QetD peuvent, du reste, être supposés de forme normale. La fonction déterminante de D est donc de degré s d'après le théorème précédent. Mais la fonction déterminante de P est {n" 36) le produit des fonctions déterminantes de Q et de D; donc elle est au moins de degré s, et, par conséquent, s est au plus égal au degré de l'équation déterminante de P = o.

55. Lorsque nous avons rencontré ce dernier théorème pour la première fois, nous avons vu que, dans un grand nombre de cas, il y a égalité, c'est-à-dire que le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes est égal au degré -y de l'équation déterminante. Si y = m, par exemple, il y a toujours égalité et les m intégrales régulières appartiennent à des exposants qui sont les racines de l'équation déterminante (n" 23). Mais, lorsque y est plus petit que m, il peut y avoir exception et l'on a ^^7, s étant le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes. II s'agit d'approfondir ce cas, -;< m, et de trouver la condition nécessaire et sullisante que doit remplir

58 c, n,OQn!'r,

l'équation P = o pour avoir exactement y intégrales régulières linéairement indépendanles.

Je vais d'abord démontrer une importante propriété des s intégrales régulières qui existent efTectivement, puis je retrouverai leurs expressions delà forme du n" 9, ei, enfin, j'établirai la condition qui doit être imposée h P=: o pour que l'on ait s = ■/.

J'admettrai les deux principes suivants :

r" En disposant convenablement de la constante introduite par l'intégration, on peut faire que l'expression

où F est de la nature indiquée au n" 14 et appartient à l'exposant p, soit une fonction de même nature que F appartenant à l'exposant p -{- i.

a" Si l'équation différentielle P = o, ayant toutes ses intégrales régulières, est composée uniquement d'équations ayant chacune toutes leurs intégrales régulières, et si P ainsi que toutes les expressions composantes sont supposés de forme normale, les intégrales régulières linéairement indépendantes des équations composantes appartiendront aux mêmes exposants que celles de l'équation P = o, c'est-à-dire aux racines de l'équation déterminante de P = o.

La démonstration très-simple du premier principe a été donnée par M. Fuclis. Quant à celle du second, elle résulte immédiatement de ce {(uc la fonction déterminante de P est le produit des fonctions déterminantes des équations composantes.

56. Si l 'équation différentielle V =:: o as intégrales régulières linéairement indépendantes, elles appartiennent à des exposants qui sont s des racines de son équation déterminante.

En effet, mettons P sous la forme composée

P = QD,

où D = o est d'ordre j et a toutes ses intégrales régulières, et où Q :=; o n'a aucune intégrale régulière. Les intégrales régulières do P — o sont alors les intégrales de D ~ o. Or, les s intégrales régulières de D " o appartiennent à des exposants qui sont les racines de son équation déterminante. D'autre pari, P, Q et D étant supposés sous

ïlIJiORIE DES lîQUATItlSS DIlTlîRESTIELLKS LIMvUllKS. 3(J

forme noi'mnle, en miiUipliant cette fonction déterminante par celle (le Q, on obtient celle de P. Donc les exposants auxquels appartiennent les s intégrales régulières linéairement indépendantes de D = o, c'està-dire de P = o, sont s des racines de l'cquation déterminante do

Ainsi se trouve généralisée la propriété établie par M. Fuelis dans le cas où y est égal à m.

57. Sachant que les s intégrales régulières linéairement indépendantes i-|, y.,. . . - , j'j de P = o appartiennent respectivement aux racines p,, fj-i, . . . , pj de l'équation déterminante, proposons-nous de retrouver, sous la forme du n" 9, l'expression de l'intégrale j/,, qui appartient à l'exposant donné p^-.

J'observe d'abord ^ue, y,, ,}'o, ....y^étant les intégrales de D -- o et leurs exposants p,, p-<. . . . , p, étant les racines de l'équation déterminante de D, il suffit d'opérer sur l'équation D ;- o, qui a toutes ses intégrales régulières.

D = o avant toutes ses intégrales régulières, je mets (n" 48) D sous . la forme composée

D = B,B,, ..BJf.B,,

où les équations composantes sont du premier ordre, leurs premiers membres étant supposés de forme normale, et ont chacune une intégrale régulière.

Soit, en général, zj une intégrale régulière de By = o. On sait, d'après le second principe du n" 55, que z^ appartient à l'un des exposantsfj, p~ /îj.

Je disque, p,, p^, .... Ps étant un mode de succession arbitrairement choisi pour les quantités p, on peut opérer la décomposition de D suivant un ordre tel que zj, intégrale de By = o, appartienne à l'exposant pf.

En el'fet, il y a une intégrale régulière de D -■-- o qui app.^rlient à l'exposant p,, et l'on peut alors écrire D = QjB,, où B, = o est du premier ordre et admet cette intégrale, et où Q, — o est d'ordre s — i et a toutes (n** 52) ses inlégraies régulières. Parmi les * — i intégrales régulières de Q, = o, il y en a une qui appartient à l'exposant p^, et l'on peut alors écrire Q, ™ Q^B;, où B^.— o est du premier ordre et

admet cette intégrale, et où Q^ = o est d'ordre s — 2 et a toutes ses intégrales régulières. El ainsi de suite. On obtiendra finalement

où les intégrales z,, z.,, , . ., z, appartiennent respectivement aux exposants p,. p.;,, . . ., (îj.

Remarquons qu'on a alors j, = s, .

Cela posé, cherchons les expressions des intégrales y,, j^ y,

qui appartiennent respectivement aux exposants f)i. pi, ..., p^-

i" Supposons que parmi les s racines (j il n'y en a pas deux dont la différence est nulle ou entière.

. Dans ce cas, nous regarderons comme quelconque l'ordre de succession fj,, p2' ■ ■ ■' ?j fies exposants auxquels appartiennent respectivement les intégrales c,, Sj, ..., z, des équations successives B, = o, B,= o, . .., B,= o.

Nous poserons en général

Zj = xV']'j{x;, y = i, a, 3, ..., s,

'Ijjix) ne contenant que des puissances positives de x et n'étant pas nul pour a? = o.

L'intégrale régulière 2, — a;PnJ/,(a7), appartenant à l'exposant p, et vérifiant D = o, représente j, :

Une solution de B, ~ z.. est de la forme

Yi i , "' dx ou xi'iht'.x) i x'! ■--'<'-' , , , ' dx,

b^cc étant le coefficient de y^ dans la forme normale B,. Or, i, n'étant pas nul (n° 53) pour œ = 0, - [ - '{ - r —, ne contient que des puissances positives dea^ et n'est pas nul pour a; = o. Cette solution est donc bien de la forme régulière et appartient à l'exposant jî, + (/j, — js, ), c'està-dire Pi- Comme elle vérifie D = o, elle représente y^ :

TdliOlUH DES lilJtATlOSS DlFl^ÉUEXTlELLliS LliSE.UUES, tH

Pj — p, n'étant ni nul ni entier, par hypothèse, y, ne contiendra pas de logarithmes.

Une solntion de B.Bi —-z-j est de la forme

b-i n'étant pas nulle pour x = o, cette solution est bien de la forme régulière et appartient à l'exposant

Comme elle vérifie D = o, elle représente 7^ ;

pi — Ps n'étant ni nul ni entier, y^ ne contient pas de logarithmes.

En continuant de la même manière, on obtiendra successivement les s intégrales régulières linéairoment indépendantes de P == o, sous la forme

OÙ les f présentent le caractère des fonctions holomorplies et.ne s'évanouissent pas pour a; = o.

2.° Supposons qu'il se trouve entre les racines p^, p.. . ■ , p^ des différences nulles ou entières.

Dans ce cas, nous parlagerons les racines p,, 0,, . . . , p^ ea groupes tels que chacun d'eux ne contienne que des racines dont les différences mutuelles soient ou nulles ou entières et comprenne toutes ces racines. Certains groupes pourront ne renfermer qu'une seule racine. Dès lors il est facile d'obtenir le groupe d'inlégrales régulières correspondant à un groupe donné de racines.

Soient p,, pj .... p/^ les racines d'un groupe, rangées dans un ordre quelconque. On peut alors supposer, comme on l'a vu, que les intégrales régulières :,, s^, ,.., s^ des équations successives B,— o.

Bn — n, ,..,D;, = o api^iinieiment resiiectivoment aux exposants f^,.

Cela étant, on tléîeriiiinera i',, i'-, .... j'^ un suivant la marclie expliquée dans le cas précédent. On anra

/, ne l'enferme pas de logarithmes; mais les différences p.— p,, p3 ^ p^, . . ., étant entières ou nulles, /„, j-^. ... contiendront généralement des logarithmes; y^ en renfermera certainement si (j^— p, est nul, car la différentielle sous le signe / dans r^ et^t

Ca étant différent de zéro et Œo(^) holoniorplic dans le domaine du point zéro; l'intégration donne

et, par suUe, on a

Il peut arriver cependant que tous les logarithmes disparaissent.

On aura donc ainsi le groupe d'intégrales régulières appartenant aux exposants donnes, tel que la différence des exposants do deux intégrales de ce groupe soit nulle ou entière.

3" Tîemarquons encore que, si l'on pose

" '~ " b,xj;' " biXZ: " ''' />,,, î;j, "

ou aura y\-^u,, y\--=ii,J'Uidx, y\--i!j'uidxj'tisi/x, .,., j;--u,J'ii!(Lrfu^fLv...fii,ilx-,

où l'on a

in ^xu-'H-<-'Of{x],

ç,,. (.r) étant holomorphe dans le domaine du point zéro et non nul pour x = o, II/, appartenant par conséquent à l'exposant o,; — |0;,, - i. Ces résultats sont d'accord avec les n"' 18 et 33.

TTIl'.OUIE ma ÉQUATIONS niFFKRESTrELl.ES LISliAItlF.S. 63

58. Je vais enfin trouver la condilion précise que doit remplir l'équation clifféreiillelle P — o, pour avoir un nombre d'intégrales régulières linéairement indépendantes exactement égal au degré de sa fonction déterminante. Dans les deux démonstrations suivantes, P, Q et D seront supposés sous la forme normale.

Si le nombre des intégrales régulières linéairement indopendantes de l'équation différentielle P = o, d'ordre m, est égal au degré 7 de sa fonction déterminante, P pourra se mettre sous la forme composée P — QD, où Q sera d'ordre m — y et aura pour fonction déterminante une constante.

En effet, P ~- o, ayant 7 intégrales régulières linéairement indépendantes, peut (n" 50) se mettre sous la forme P ~ QD, où Q est d'ordre m -- y et n'a aucune intégrale régulière, où Dest d'ordre 7 et a toutes ses intégrales régulières. Donc (n" 36) la fonction déterminante de P esl égale au produit des fonctions déterminantes de Q et de D. Or celle de D est de degré 7, puisque D = o a toutes ses intégrales régulières , celle de P aussi; donc il faut bien que la fonction déterminante de Q soit une constante.

Réciproquement :

Si l'expression différentielle P d'ordre m, ayant une fonction déterminante de degré 7, peut se mettre sous la forme composée P =QD, où Q est d'ordre m — y et a pour fonction déterminante une constante, l'équation différentielle P =0 aura exactement 7 intégrales régulières linéairement indépendantes.

En efiet, P étant d'ordre m et Q d'ordre m — 7, D sera d'ordre 7. Or, à cause du théorème du n" 36, la fonction déterminante de Q étant du degré zéro, celle de D est du degré 7. Donc D = o a toutes ses intégrales régulières, puisque son ordre est égal au degré de sa fonction déterminante. Mais l'équation Q -~ o, ayant pour fonction déterminante une constante, ne peut admettre { n° 54) aucune intégrale régulière. Donc, d'après le n° 48, l'équation P = QD — o aura pour intégrales régulières les intégrales de D — o, c'est-à-dire qu'elle aura exactement 7 intégrales régulières linéairement indépendantes.

Les deux propositions qui précèdent donnent donc le critérium qui permettra de décider si P = o a 7 intégrales régulières :

Pour que l'équation différentielle P = o, d'ordre m, ayant une fonc-

G/( G. ILOyiiET.

don déterminante de degré 7, admette y intégrales régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression P soit de la forme P = QD, Q étant d'ordre m — 7 et ayant pour fonction déterminante une constante.

Les Chapitres qui vont suivre nous permettront de transformer celte condition, en considérant l'équation au multiplicateur intégrant de P = o. Comme nous allons le voir, il existe une connexion remarquable entre une équation linéaire homogène et celle que vérifient ses facteurs intégrants.