CINQUIEME PARTIE
59. Soit l'équation différentielle linéaire homogène ,l«r d-'-r
où les coefficients p sont des fonctions de a; holomorphes dans une partie du plan à contour simple, sauf pour certains points singuliers isolés les uns des autres.
Considérons m intégrales linéairement indépendantes de la forme
j; = <.;, y,^vji'.dx, y,=vj^:dxfv,dx, ...,x^^:'.'Jv,da:Jv,dx...Sç,,dx.
Je vais d'abord mettre P sous une forme composée déterminée. Dans ce but, je construis les équations différentielles du premier ordre
de la forme
' dx '■'
admettant respectivement comme solutions
La valeur de K;, par exemple, sera
yGoosle
TIIKORIK DES KQl'.VI'lOSS DIFI Klir.KTlELI.ES I.l^iLAilir.S. G5
Jo dis que l'expression composée
A™ \„,.,...A,A, A, est identique à P.
En effet, cette expression est ^nualée par- les intégrales générales des équations A, = o, A, ==(■,<■„ A,A, = c,^>,c„ .... A,„-,Â,„^,. .. A,A, --=(.,(.,(.,. ..r„.
Or, l'Intégration directe de ces équations montre qu'elles admettent
des solutions coïncidant précisément avec y,, y-., ...,/,„; car. A, =o étant satisfaite pour/ = c, , A, = f , t^^ est satisfaite pour;)- = Vi J i\dcc, A2 A, = f, c^^'a pour j^ Ci/Cacte/t'jrfa; Donc les deux équations
A,„A,„,. ..A,Ai = o ei l> = o,
d'ordre m, ont un système fondamental d'intégrales commun, et, par conséquent, comme dans les deux premiers membres le coefficient do -r^ est r, ces deux premiers membres sont identiques; sinon, leur différence, qui serait au plus d'ordre /n — i, serait annulée par m fonctions linéairement indépendantes, ce qui est impossible. On a donc 'identité
L'expression P étant ainsi décomposée, j'observe, d'après le raisonnement précédent, d'une part, que l'équation d'ordre m — e
admet les m — I intégrales linéairement indépendantes l'i.r., .. . y„,,, et que par suite son intégrale générale est
d'autre part, que l'équation
admet la solution particulière j„,, et que par suite l'équation
Air)=C„,<',c,...n., où C,„est une constante arbitraire, admet la solution particulière C,„y,„. D'où je conclus que l'intégrale générale de celte dernière équaliun
G(] G. ri.ooiKï.
(l'oiili't^ m — I liât
c'esl-a-Llii'e la inènie que celle de l'équation P = o d'ordre m. Il en résulte que l'équalion
A{7) = Ci', <■,...<',„
est une intégrale première de l'équalion difl'érentiellt; P -:= o.
Si donc j'élimine la constante C,„ de celto intégrale première, en l'écrivant
(.,«,. ..,vj-A!r):..C.,
puis dérivant, ce qui donne
si ensuite, dans l'équation obtenue, je ramène à l'unité le coefficient de -T-^en multipliant par c,fa. . . v,„, j'arriverai à une équation différentielle
qui aura son premier membre identique avec P. Écrivons cette identité ; si je pose
!«,(.,.., 1^,1- ==. M, elle s'écrira
MP(r)-^[MA(.r)].
Or, elle exprime que P{j), muiliplié par M, est une dérivée exacte. C'est la définition même d'un multiplicateur intégrant. Donc, toute expression de la forme (cii'u. ..r,„)~' est iin facteur intégrant.
Cherchons une équation qui lasse connaître M directement en fonction des données.
Je pnrs de l'identité
A, qui représente l'expression A,„, A,„^. . As A,, est de la forme , ,. ^ d--'r , d"'-y ,
TllÉOIilK 1)!".S ÉOCATIOMS DIFFÉRENÏIKLI.ES LINÈAIKES. 67
Égalons les coefficients des mêmes dérivées dans les dciix membres :
-^—, + M /„,,= w,„iM, i p,„iï-
dx ' dx '
Éliminant successivement/,, 1.^, ..., /,„, entre ces ttz égalités, nous obtenons l'équation différentielle
dx"' d.'/"-' dx"'~' '"' ' "'"" '
à laquelle satisfait le multiplicateur intégrant M.
Inversement, toute solution de celte équation est un l'acteur intégrant de la forme [v, r^. . .r,„)~'.
Soit en effet M une solution. Les m — i premières égalités en / déterminent /,, /j, ,..,/,.,j..|, et la dernière est satisfaite. L'expression A est donc déterminée et, eu outre, on a
ee qui prouve que M est bien un facteur intégrant. De plus,
MA(r) = C„, ou A(j) = C„,M-',
C„ étant une constante arbitraire, est une intégrale première de P = o.
D'où il résulte en premier lieu qucm— i solutions^-, , j^ y,,,., de
A = o sont aussi solutions de P = o, et en second lieu que, si ces m~ï solutions, supposées linéairement indépendantes, sont mises sous la forme
■y, = \\, j. =.-; v.fi'^dx, ..., y„.-, = ''./''i dx... /c,,, ,dx,
une solution y,„ de P = o, qui constitue avec j,, y.,, ...,/,„, un système fondamental, pourra s'écrire
r.,. — C:„vJ'v;dj:... f^'.„dx,
v,n satisfaisant h l'égalité
68 i;. vLoouCT.
Si, en etFet, on fait la subslitiiUon
dans l'cqualiun un obtient et par suite J'en conclus iloiic
L'équation aux m ulliplicateui's intégrants de la forme (i",, c. i',„)"'
est donc
Reinai'quotis que la première des m égalités en /,
donne celte valeur de M
M ^ cJ ■/.■ 'ô''\
60. Lagrango a trouvé l'équation différentielle en M par un autre procédé que je vais rappeler sommairement. Donnons même un coefficient pa à -T-^ dans l'expression P,/>o étant différent de l'unité.
Je multiplie P par Mdx, M étant une indéterminée, et j'intègre la
différentielle
L'intégration par parties donne successivement r ^^ *T } m rd{p.-,M] ,
j P- di ^''^" ^-P-' ^^r~j —d^rd^
C d'Y,,, .,dr (/(ft.-îM) r</=(»„,.M) ,
yGoosle
ïlIÉOllli; BKH ÉQUATIONS Dll^illtlENÏiELLES LlXK.UliES. 69
On en déduit
f\'{r]Mdx=-.M.\{y]-. I \i'„.M-
t/(;;„-, Ml <f'[!>,„..,M]
Si donc on délermine la fonction i>] par la condition qu'ollc sitlisfasse à l'équation
"' "'""" dx-"'"'
Mnrl---,-^[]^iA(r)]'
et M sera un multiplicateur intégrant.
On retombe donc ainsi sur l'équation en M déjà obtenue, et l'on voit que, pour la trouver, il suffit d'intégrer par parties les diirércnls termes de P(^) Mr/a; et d'égaler à zéro la somme des éléments placés soHS les signes /.
61. Inversement, je vais appliquer cette règle à la recherche de l'équation aux muUiplicaleurs intégrants {le l'équation différentielle en M.
Je multiplie psv ydcc le premier membre de l'équation en M et j'intègre par parties les différents termes
//ï„ M ydx =: fp,„ y M dx.
Égalant à zéro la somme des éléments placés sous les signes/, j'obtiens l'équation en y
dr d'" r
qui est précisément l'équation P — o, de sorte que, réciproquement, P — o est l'équation aux facteurs intégrants de l'équation en M.
62. 1! y a donc récipi'ociîé complète eiilre l'cqualion P=: o et l'éfjuation en M, et chacune d'elles est l'équation aux multiplicateurs intégrants de l'autre.
Nous dirons que les deux équations sont adjoinles, cl l'expression adjointe de l'expression dlPTérentielle
Généralement, si les deux expressions différentielles
d-'y sont adjointes, on aura
"^ ' ' '' dx'' ' dx'-' dx '"' -
Remarquons aussi que, si l'on considère les deux expressions adjointes P(j) et <£(JI), on a les deux identités
d'où l'on déduit
de sorte que la diflereiiee
est la dérivée d'une expression différentielle linéaire et homogène en
TliKORIE «ES liQUATiOSS DIl-rnilESTIELl.KS LISIlAUiES. 7 1
y et en M, les coefficients élaiU des fondions linéaires homogènes des coefïicienls/) et de leurs dérivées; on a, en effet, trouvé plus liant les valeurs des coetFicionls iM/,, 'Mlç.. ..., M/,.t i de MA(;>'), et ceux de B(M} sont analogues.
C3. Je vais établir une relation élégante existant entre une expression différentielle mise sous forme composée et son expression adjointe.
Considérons les deux expressions adjointes
(la:- (IrC"-^
Je dis d'abord que, u étant une fonction de x, l'expression différentielle adjointe deS(«j) est "§(7).
En effet, on a
Sir) - (~ . r -y^'- H- '-■,-' -^=:- + • ■ ■ -'- >.r.
d'où l'on déduit
L'expression adjointe de S(ay) est, par conséquent.
c'est-à-dire u§{y).
Je dis ensuite que, u étant une fonction de .r, l'expression didéren-
tielle adjointe de S («-^, lest En effet, l'expression
S ( tA = s "'—■-'- ^h s, 'll-'r + , , . -I- g, '^1
n pour expression adjointe
f<"'-'i'S,,ri , ^., rf'jS.r)
, rf's('
Par conséquent, (-- 1)' -r--,^ [«§(7)] sera l'adjointe de 'il'-/--,) > T(y) étant l'expression qui a pour adjointe «s(y). Or, cette expression
donc (- i)' ^ ["S(.r)J sera l'adjointe de S [a ^,).
Soient enfin ^ et s les adjointes de R et de S, où S désigne toujours l'expression
On a
us.= K[s.g;]-.u[s,^;;i]^-...-i.n(S.,.).
Or, ii est évident que l'adjointe d'une somme est la somme des adjointes. Donc l'adjointe de RS sera
{- (^-{^ [S.;ri( rî] h- (- ')' ' j~ [S, A(ril +■ ■ ■ + ^,fMy\
On a donc ce théorème remarquabh^ :
L'expression adjointe de RS est SA.
La propriété s'étend facilement à un plus grand nombre d'expressions, et l'on a cette proposition générale :
Si une expression différentielle est composée de plusieurs expressions différentielles , rangées dans un certain ordre, l'expression diffé-
TIIÉOIIII! DES I-IQL'AÏIOSS DltréRENTIliLLES LIXÉAIIIKS. 73
rentielle adjointe est composée des expressions adjointes rangées dans l'ordre inverse.
Remarquons, en passant, une conséquence de ce fait (|ue l'expression adjointe de «a(^) estS{uj'). Nous avons supposé, dans la recherche
du u** 59, que le coefficient de -r^ dans P était égal à l'unité, et nous avons trouvé que l'adjointe de l'expression
'h: + El "■'"">' ^, P i ^"''r .-.,,, ^1!^ y
dx'" p„ dx"'~' jJa dx'""'- ' l'a
est l'expression différentielle
Donc l'adjointe de
comme nous l'avons vu par la métliode de Lagrange.
64. Il est facile de trouver la liaison qui existe entre les intégrales des deuxéquationsadj ointes P(/)=o et $(i\t)=o. J'observe d'abord que l'équation du premier ordre
dr ,
a pour adjointe
et ensuite que, si la première admet la solution y ~= v, la seconde admettra la solution M ^= v~' .
Cela étant, je mets P(y) sous (n''59) la forme composée
yGoosle
7'i <;. ILOQUET,
les équations du premier ordre
admellant respectivement pour solutions
L'équation ?{j) -- o admettra alors (n" 59) le système fondamental d'intégrales
Mais soient X,, 0.1.3, .■■,^Vn les expressions adjointes de A,, A^, .. , A,,,. D'après le théorème du n" 63, on a
et, d'après la remarque qui précède, les équations
..l„„ = o, ,l,,„, = o, . . . , ^l„ = o, X,~o admettent respectivement comme solutions
Donc 'ï(5J) — o aura comme système fondamental d'inlé^içrales M, ==(y,c...v„)-'/<'„</x,
M,„= (.,.,. ..v..]-'f..,Jxf..-.d^-. . -f..d^.
Ces formules montrent clairement la corrélation des deux systèmes fondamentaux d'intégrales de V[y) = o et de ®(M) -= o.
65. Revenons maintenant à nos liypotlièsos sur l'équation dilfcreutielle
et supposons que les coefficients p soient développables en séries convergentes dans le domaine du point zéro, procédant suivant les puis-
TJIÉOr.lE DES ÉOrATtONS DIFPÉtlKX'riELLES LIKK.VIRi-S. ^5
sauces entières, positives et négatives de ce, mais ne contenant qu'un nombre limité de puissances négatives.
Il en sera évidemment de même des coefficients de l'équation dilTérentielle adjointe
■ (te" (/x"'~' '^
Nous allons voir que les fondions déterminantes de P(y) = o et de 'j?(M) = o sont étroilement liées.
On a l'identité (n" 62)
MPi'rj->'S{M) =
où L(}', M) est une expression différentielle linéaire homogène en/ et en M, dont les coeiïicients sont des fonctions linéaires homogènes des coefficients p et de leurs dérivées, et ne renferment par conséquent eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances de x~^ . Posons dans cette identité
y =:- X'"' "■'"' et M ^ xf,
vêtant un nombre enlier quelconque, positif ou négatif. Nous obtenons
Or, la quantité placée sous le signe -j- dans le second membre est déve
loppable en une série procédant suivant les puissances entières de x, ne contenant qu'un nombre fini de puissances négatives et ne comprenant en tout cas aucun logarithme. Donc le premier membre, qui procède aussi suivant les puissances entières de œ, ne renferme pas la puissance x~^ . Formons donc le coefficient de œ-' et égalons-le à zéro. Soient
les fonctions caractéristiques de Pfj) et de <B(M.). Le coefficient de a:-' dans a;pp{a?-P-~'-') est alors/,( — fi — y — i), et le coefficient dcr-' dans
76 G. rLOflllEÏ.
^..p-v-i (gj^pj ggf 9-i{p)- On a donc, quel que soit l'enlier v,
Soit §■ le plus haut exposant de x"' d&ns sc~'?V(x^)\ /^{p) s'évanouit alors pour les valeurs de v inférieures à — g, mais non pour la valeur V = — §■. Donc, à cause de l'identité précédente, il en est de même de '■py{p)- Faisons v — — «■ dans cette relation; nous aurons
Or, ^^^(p) et/g(p) sont les fonctions déterminantes de ^(M) et de P(j): xs est d'ailleurs la puissance de œ par laquelle on doit multiplie P(/) pour la réduire à la forme normale. D'où cette proposition :
Les fonctions déterminâmes de V(y) et de l'expression adjointe $(M) se déduisent l'une de Vautre en changeant p en — p + g — i, x^ étant la puissance par laquelle il faut multiplier Pfj} pour l'amener à la forme normale.
On en déduit que les fonctions déterminantes de P(j)et de l'adjointe œ(M} sont du même degré.
Ramenons P(j) à la forme normale en multipliant par x^; d'après le n" 63, l'adjointe de x^Vly) sera ®(a:^M); mais (n" 33) la fonction déterminante de<J[a:^M) est 9 g(p + g); or, à cause de
on a
donc, lorsque l'expression proposée a la forme normale, pour obtenir la fonction déterminante de l'expression adjointe, il suffit de remplacer p par — p — I dans celle de la proposée.
66. Si l'équation P [y] — o a toutes ses intégrales régulières, il en est de même de l'équation différentielle adjointe ^(il) = o.
Observons d'abord que, pour le premier ordre, ce théorème est évident, puisque {n" 22) l'équation
dx , jM^) .
yGoosle
'flIÉORiE nr.S ÉQUATIOISS DIFFliUKNTlELLES LINÉAIRES. 77
a pour adjointe
En général, V{y)~.o, ayant toutes ses intégrales régulières, peut (n" 48) être composée uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière. Dès lors (n° 63), l'équation adjointe $(M) — o se composera des équations adjointes rangées dans l'ordre inverse. Donc {n" 49), l'équation Ç(M) =^ o, étant composée uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière, a elle-même toutes ses intégrales régulières.
67. Nous sommes maintenant en mesure de transformer la condition du n" 58 par la considération de l'équation différentielle adjointe.
On a vu que, pour que l'équation diiférenlielleP = o, d'ordre m, ayant une fonction déterminante de degré 7, admette 7 intégrales régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression P soit de la forme P^ QD, Q étant d'ordre m — y et ayant pour fonction déterminante une constante.
Or, soient ^et (D les expressions adjointes do Q et do D. D'après le n" 65, les fonctions déterminantes de Q et de ^sont du même degré, et d'après le n" 63, P se mettant sous la forme P = QD, $ se mettra sous la forme '^=co^, et réciproquement. Donc, la condition nécessaire et sufiisante pour que P = o ait 7 intégrales régulières linéairement indépendantes est que l'expression adjointe Çf soit de la forme $ — o^, pétant d'ordre m —7 et ayant pour fonction déterminante une constante. Ceci revenant à dire que (n" 39) <S~o doit admettre toutes les intégrales de ^= o, nous obtenons cette condition finale :
Pour que l'équation différenlielle P = o, d'ordre m, ayant une fonction déterminante du degré 7, ait exactement 7 intégrales régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'éc/uation adjointe S = o admette toutes les intégrales d'une équation différentielle d'ordre m — 7, ayant pour fonction déterminante une constante.
68. Je vais enfin appliquer ceci à la recherche des conditions que doit remplir l'équation P — o, d'ordre m, pour avoir m ~ i intégrales régulières linéairement indépendantes.
Je (lis (l'iiboi'd que ia fonction déterminante rloit être de degré m - i. En effet, elle ne peut pas être de degré inférieur à m— i, car alors (n" 54) P— o n'aurait pas m — i intégrales régulières linéairement indépendantes, et elle ne peut pas être de degré supérieur km — i , car alors elle serait de degré m, et, par suite (n" 54), P i:^ o aurait m intégrales régulières linéairement indépendantes.
La fonction déterminante étant de degré m — i, il faut maintenant et il suffit, d'après le théorème précédent, que l'équation adjointe $= u admette les intégrales d'une équation du premier ordre, ayant pour fonction déterminante une constante. Or, d'après le n" 53, les intégrales d'une pareille équation du premier ordre sont de la forme
tj^(aî) ne contenant que des puissances positives de x, et ne s'évanouissant pas pour x ~ o.
D'où la proposition suivante :
Pour que l'équation différentielle P = o, d'ordre m, ait exactement m — I intégrales régulières linéairement indépendantes, ilfaut et il suffit :
I*' Que sa/onction déterminante soit de degré m ■- i ;
z^.Que son équation différentielle adjointe admette une intégrale delà forme
>h (x) étant une/onction holomorphe dans le domaine du point zéro et non nulle pour X — o.
