Je considère maintenant l'expression

dans le cas où les coefficients p,, p^. ■ ■-, p,„ sont constants. C'est ici que l'analogie de l'équation P = o avec une équation algébrique va se présenter de la manière la plus complèle.

Il a été établi :m ii" 71 que, si l'on effectue la oomposUion dos facteurs

dont les coefiicients a sont conslants, on obtient une expression différentieUe dont les coefficients ont pour valeurs

— i«;, -+- 2«,«y. —laitljai. . . .,

de sorte que ces coefticienis sont eux-mêmes constants. Inversement,

les coefficients/»,, p-, p,„ étant constants, si Ton détermine les a

par les formules

on obtiendra des valeurs constantes qui sont les racines de l'équation algébrique

p'^- --^ p, ç."' '-b/ho'" '- + ... -+-p,„ = o,

obtenue en posant r — e''" dans '?{y) ~ o.

Donc, toute expression telle que P est déconiposable (n" 44) on m facteurs premiers symboliques à coefficients conslants, ces coefficients étant les racines du polynôme

Remarquons que les coefficients p sont des fonctions symétriques des coefficients a; d'où celte proposition :

Dans une expression composée de facteurs premiers symboliques à coefficients constants, on peut intervertir d'une manière quelconque l'ordre des facteurs sans altérer les coefficients de l'expression résultante.

11 résulte de là que :

Pour qu'une expression composée de facteurs premiers symboliques à coefficients constants soit nulle, il suffit qu'un de ces facteurs soit nul, ou, plus généralement, qu'une expression composée de plusieurs de ces facteurs soit nulle.

Car, si AgA„Ag, par exemple, est nul, l'expression proposée, pouvant s'écrire A,„ A,„, .. . A, Ag A^Â,, sera elle-même nulle.

Ce dernier tbéoroine donne immédiatement l'intégrale générale de l'équation P ^- fi.

Ttli:UlllL lits lillJLATIONS DU' fEUIiSTJliLLtS LLNIi.U

En effet, si les fadeurs A sont inégaux, en les égalant séparément à éro, nous obtenons m solutions lioéairemont indépendantes

Si maintenant «j facteurs sont égaux à A, . a-, a A., , . ., v.,, a A„, de telle sorte que

égalons séparément à zéi'o ces n groupes de fadeurs égaux

il résulte du n" 80 que ces n équations ont chacune toutes leurs solutions conjuguées et égales respectivement à

Nous avons donc encore ici m intégrales, el elles sont linéairement indépendantes.