Considérous l'expression dillërentiellc

A„,A,„.,., .A,A,A„ et comparons-la à l'expression

effectue les opéi'alions A,,

L|, et je pose

Il a

'"'■ dx '

Si tlonc —j- et —r— sont

égaux,

, c'est-

à-dire si (i„, — a,„ .,

stant, les deux expressions A„, A„,| A et A,,;., A„, A seront identiques, et, réciproquement, si k,„ A,,,., A et A,„^i A,„ A sont identiques, la différence

devant alors être nulle idontiquemeot, comme A ne l'est pas,

da„i i!i!„. I dx dx

sera nui el «,„ — a,„. , sera constant.

D'oii celte proposition ;

Pour que, dans une expression ditl'érenlielle composée de facteurs premiers symboliques, on puisse intervertir les deux premiers, il faut et il suffit que les cocfiicienls de ces deux facteurs diÉièrenl par une constante.

Comparons maintenant les deux expressions

A„,A,„, A,„,A„..,A„ A, cl A„, A„,^,A,„. -, A,„-,A„,.. A,.

yGoosle

THtORÎE DES EQUATIONS OltTÉRENTIELLUS LINÉAIRES. 100

Si les coefficients «,„., et fl,,,..^ diflereiit par une constante, d'après le théorème précédent,

A„,A„,..A,.^:...A, et A„-3A.-,A,„-,...A,

seront identiques, et, par suite, il en sera de même des deux expressions considérées. Inversement, je dis que, si ces deux dernières expressions sont identiques.

seront aussi identiques, et, par conséquent, fl,„.2 et a,,,.^ différeront par une constante. En effet, la différence

A„, A,,,-, S - A™ A,,,-., T = A,„ A,„ ., [S - Tj

est alors identiquement nulle. Or on a

donc s et T sont identiques, car, sinon, soit r^ le premier terme qui ne disparaît pas dans la différence S — T; A,„ A,,,.,, (S — T) contiendrait le terme irréductible i'j—;;j;r,^ et, par suite, ne serait pas identiquement nul.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs premiers symboliques, on puisse intervertir deux facteurs consécutifs, il faut et il suffit que les coefficients de ces deux facteurs diffèrent par une constante.

On en déduit la proposition générale ;

Pou/- que, dans une expression différentielle composée de facteurs premiers symboliques, ces facteurs soient conanulatifs, il faut et il suffit que les différences de leurs coefficients, pris deux à deux, soient des con-

85. Ces conditions, imposées aux coefficients des équations compO" santés, conduisent à des relations correspondantes entre leurs intégrales.

io6 i;. rj.oiiuKr.

CoDsidérons, en effet, les deux équations

dy dr ,__

di ~ ""^ ~'^' d^~ ''''^' ^ "'

et soient j„ et y,, leurs intégrales générales respectives. Si je pose dans la première y =yr z, j'obtiens l'équation en z

qui donne le rapport '-^ des deux intégrales. Or, si an — a,, est constant, elle donne z =Ce''-^, « étant constant comme C, et inversement, si s est de celte forme, a„ — a^ sera constant; de sorte que dire que

a,, — a,- est constant revient à dire que le rapport — est de la forme

d'où cette transformation de la proposition générale :

Pour que, dans une expression différenlielle composée de facteurs premiers symboliques, ces fadeurs soient commutalifs , il faut et il suffit que les rapports des intégrales des équations composantes, prises deux à deux, soient de la forme Ce"^, C et a étant des constantes.

86, Il est clair qu'une expression composée de facteurs premiers symboliques commutatifs sera nulle si l'un de ces facteurs est nul, ou, plus généralement, si une expression composée avec plusieurs de ces facteurs est nulle.

On déduirait de là, comme dans le cas des coefficients constants, l'intégrale générale de l'équation, intégrale qu'on peut d'ailleurs trouver de plusieurs façons, par exemple à l'aide des formules du n" 72; mais je la conclurai des considérations qui vont suivre.

Je me propose actuellement de trouver la forme des expressions différentielles

qui sont dôcomjDosahles en facleurs promiers symboliques coinmuUtifs.

THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFlillENTlELLES LmÉAIUES. TO7

RetTiyrquons d'abord que les coefficients/» seront nécessairement des fonctions symétriques des coefficients a des facteurs commutatifs. On calculerait ces fonctions par les formules {2) du n° 74, en y supposant

lix (Ix ' clx

Par exemple, on a

Si l'expression P est déconiposable en facteurs commutatifs, on a

OÙ les différences deux h deux des coefficients a sont constantes. Soit 7„ une solution de l'une quelconque des équations composantes, de A„ = o par exemple :/„ sera une intégrale de P = o. Or, l'identité (3) du n" 75 donne

lp;7„r)^A;,A',„, ...A',A',,

avec les conditions

Donc l'expression — Pfj',,/) a ses coefficients constants et est de la

forme

1 „ , , ^ , , d"'y d'""' T dr

et, si je change y en — > j'aurai

Par conséquent, toute expression ?(/), décomposable en facteurs d mutatifs, est de la forme

i'W=r.Q(it).

Io8 C. ILOQUKT.

Y,i étant une fonction de x, et Q(y) une expression telle que

d"'r d"'-'y dr

OÙ les coefficients q sont constants.

Inversement, toute expression de la forme

est décomposable en facteurs commutatifs.

On a, en effet,

où les coefficients b des facteurs sont constants. Or, l'iilenlité (2) du n" 75 nous donne

avec les conditions

/,' — /,+ él^Â^'. • 2 3

Donc les coefficients b' des facteurs B' diffèrent deux à deux par des constantes, et, par suite, ces facteurs sont comniutalifs.

La forme/,, Q i^] est donc nécessaire et suffisante pour que P(j)

soit décomposable au moins en un sj'stème de facteurs commutatifs. Il est facile de conclure de là l'intégrale générale de P = o dans ce cas. Soient^ en effet, tp,, w^, ..., w„, les intégrales particulières de Qfj) =0; l'une d'elles est constante, puisque Q(y) ne renferme pas de terme en y, et les autres sont de la forme cc'&'f. L'équation

Q(^J— o ou P(j']t=o admettra les intégrales linéairement indépendantes

Donc, lorsque P est décomposable en facteurs commutatifs, si/„ désigne une fonction annulant l'un de ces m facteurs, l'équation P = o admetm intégrales linéaircmenl indépendantes de la îorme )'.,x' e'^, on y comprenant/,,.

THÉORIE DES ÉQUATIOSS DimÏRENTIELLES USÉAlIiES. 1 Oy

87. Cherchons la condition pour que l'expression du second ordre

(t'y dy

P (/)=£; + ?.£. + »■ soit décomposable en deux facteurs commutatifs

Traitons la question directement. On a

A, A d'où les deux équations

dx- ^ ' '' d.v ' \ dxi

da, da, i d[a,-^-fh) dx dx 2 dx

1 dp,

Or, la différence a, — a-^ doit être constante. Donc la condition nécessaire et suflisante est

— r- -*- V — ;'=— const.

•2 dx 4

Lorsque la constante est nulle, les deux facteurs commutatifs sont évidemment égaux, et nous retrouvons bien la relation

L^Ei — PÏ — — trouvée au n° 73.

88. La décomposition d'une expression différentielle linéaire et homogène en facteurs premiers symboliques a été étudiée, dans le cas des coefficients constants, par le géomèlre français Brisson, qui en a déduit une ingénieuse méthode d'intégration des équations linéaires à coefficients constants, avec ou sans second membre. Caiichy a signalé la fécondité de cette méthode (' ). Je me propose de généraliser le procédé, qui s'étend aux équations linéaires à coefficients variables, en montrant comment il fournit l'intégrale générale d'une équation complète quand on connaît celle de l'équation privée du second membre.

Considérons l'équation linéaire

■' da;-'

Par hypothèse, on connaît l'intégrale générale de l'équation privée du second membre : P ~ o. On connaît donc toutes les décompositions possibles du premier membre en facteurs premiers symboliques. Soit

l'une d'elles. L'intégration de l'équation

peut se ramener à celle d'un .système de m équations simultanées, linéaires et du premier ordre.

En effet, si je pose

l'équation (i) s'écrira

si je pose de même

l'équation (2} s'écrira

(') Exerriccs iimlJwnidtiqiicf:, t. II, p.

ÏHÉOniK DES ÉQUATrONS lHm';RESTIEH,ES LIXEAIRKS. I I I

et ainsi de suite. J'obtiens donc bien les m équations linéaires du premier ordre

ihu .. .. ,1

dx '" '" ~~ ' ''

qui devront être intégrées dans l'ordre où elles sont écrites, et où u, désigne/.

Observons que les valeurs de h,, u^, Uj, . . , , déduites de ces équations, renfermeront en général des intégrales multiples. Soit ;,- une solution de A,- = o,

la constante arbitraire dans faidx ayant une valeur déterminée. On aura successivement

;;„, == z„, i — ^ — ■ dx,

11,,,-.,^:= z,„-, I —^dx^z,„^, ( — — dx I — ' — '- iJx,

«•-—/£ '"-'■- r^/- fit. "'/T^ "'■■■■

•" -y= "jî "' = '■fv. "'fv. ''■'!■ ■ -J^t ""'

Il est facile de voir que, si les facteurs A sontcommutatifs, on pourra toujours remplacer les intégrales multiples par des intégrales simples, en recourant à l'intégration par parties.

En effet, le rapport - des solutions de deux équations composantes

112 G. FLOOUET.

est alors (n" 85) de la forme Ce''-^, a étant constant, comme G. Or on a

d'où l'on tire

La fonction k,„i est donc exprimable par des intégrales simples, et il en sera de même de w,,,..^, ((,„ j, . . . , «a et de «, ou j. Cela est toujours vrai, en particulier, lorsque l'expression P est à coefficients constants. La même réduction a lieu quand on a

grable.

89. Appliquons la méthode précédente à l'intégraiion de l'équation différentielle

^■^ ' dx' i-x-^-s dx [rx-^-sY'' ^ ■'

oh p,, 0-2, rets sont des constantes, p, étant différent de p^.

L'équation P= o admet les deux solutions linéairement indépendantes {rx + î)Pi et (rx + sf-^ ; on en conclut la décomposition de P en facteurs premiers symboliques

P^A, A,, où l'on a (n^Sl)

Les équations A^ ::^ o et A, = o admettent d'ailleurs respectivement les deux solutions

THÉORIE DES ÉQUATIONS PlFrÉUEKTIELLES LIKliAIKES. I r3

II s'agit d'intégrer le système

du-, ( p, — 1 î ('

dx rx -^s ■ '

du, p,r

Or, l'intégrale générale de la première équation est on en conclut celle de la seconde

«, = j- = (rjc -J- j)f^ / (rx +■ s]f-^->'~Ulx / — - -^^ ^^^-^^t/.y.

Chassons l'intégrale double en intégrant par parties, et nous obtenons l'intégrale générale de P (v) = !s( j;) sous la forme

ce qu'on peut encore écrire

C, et Ca étant les deux constantes arbitraires.