SEPTIEME PARTIE

90. Dans cette dernière Partie, j'appliquerai la décomposition en facteurs premiers symboliques à l'étude des intégrales régulières. Comme nous le verrons, cette décomposition peut s'effectuer suivant des facteurs h coefficient monotrope, et la considération de ces facteurs permet d'établir simplement tous les théorèmes, en même temps qu'elle montre clairement l'origine de la différence qui existe souvent

yGoosle

entre le degré de l'équalioii déterminante et le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes.

Je rappelle d'abord que, pour que l'équaiion du premier ordre

où le coefficient a est une double éérie procédant suivant les puissances entières positives et négatives de œ, et convergente dans le domaine du point singulier zéro, ait ses intégrales régulières, il faut et il suffit que ce coefficient soit de la forme

a étant une fonction qui ne renferme dans son développement que des puissances positives de ce et qui peut être nulle pour ^ = o.

Quand cette condition est remplie, l'équation déterminante est du premier degré, et. si p est sa racine, les intégrales sont de la forme

la fonction <l'{œ) étant analogue à a. sauf qu'elle n'est certainement pas nulle pour x = o. Quand la condition n'est pas remplie, a présentant néanmoins le caractère des fonctions rationnelles, l'équation déterminante est du degré zéro et les intégrales sont de la forme

V -!- I étant l'ordre infinitésimal de la valeur infinie que prend a pour ■T = o.

Je désignerai, pour abréger, par/acïeur régulier un facteur premier symbolique tel que

Il est évident, d'après les formules (2} du n" 74, qu'une expression composée de m fadeurs réguliers est de la forme

clx'" ' X dx'" -' a' dx'"~' X'"-

THÉORIE DES ÉQL'ATIOSS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 1 I 5

les fbiictlons P; étant holomorpiies dans le domaine du point zéro et pouvant être nulles pour a: -=0. D'ailleurs, pour ramener une pareille expression à la forme normale, il suffira de la multiplier par x'".

91. Nous avons démontré au n" 36 la proposition suivante, due à M. Frobenius :

Si une expression différentielîe est composée d'expressions différendetles de forme normale, elle a elle-même la forme normale, et sa fonction déterminante est le produit des fonctions déterminantes des expressions composantes.

Admettant ce théorème, je considérerai des expressions composantes, non plus de forme normale, mais de la forme

S-.+P'éiif-T+^ + P-r.

où le premier coefficient est l'unité, les autres se développant en séries procédant suivant les puissances entières de x, mais ne contenant qu'un nombre limité de puissances négatives; puis, l'expression résultante étant évidemment aussi de cette forme, je chercherai quelle relation existe, dans ce cas, entre sa fonction déterminante et celles des composantes. La relation est encore simple, comme je vais le montrer.

92. J'examine d'abord une expression P composée uniquement de fadeurs réguliers

Soit

^■, — c, /,— (■,/(', n'a;, . . ,, j,„~f,/y,rf^/.. .fv„.dx

le système fondamental corrélatif de cette décomposition de P.

Comment doit-on modifier les facteurs A pour que leurs nouvelles expressions aient la forme normale et en même temps produisent, par leur composition, la forme normale x'"'? de P?

Je multiplie chaque facteur A par x, et je désigne par A" les produits; ces produits ont la forme normale. Si je les compose, l'expression résultante

yGoosle

1 l6 G. FLOQUET.

égalée à zéro, admoUra le système fondamental

''• -■/ï''^-' '■■fî''''ri'''' ■■■■ '■■/ï'''/-/î''^'

car on voit sans peine que les équations

admettent ces inlégrales. Si donc j'ajoute aux coefficients ~ les dérivées

ce qui revient à augmenter les a,- des nombres « — r; comme, par ce fait (n" 75), les fonctions Cj, t',,, , , .. c,„sont multipliées par x, je construirai, en composant les résultats

ainsi obtenus, une expression

qui, égalée à zéro, admetti'a le système fondamental

c'est-à-dire le même que P = o, et, par conséi]ucnt, coaime le premier coefficient de P' est x"\ on aura

Ainsi donc, l'expression P, mise sous sa forme normale x"'P, est identique à l'expression A^„A'„i- - . A'j A',; d'où ce théorème ;

Étant donnée une expression composée uniquement de/acteurs réguliers tels qiis~j 'y, pour la mettre sous sa/orme normale, on ajoute aux

quantités ai les nombres i ~ i, puis on ramène les nouveaux /acteurs à la forme normale en les multipliant par x.

THLORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. If]

Par exemple, si l'on fait r=i. î=o aun^StiOn a l'identité

d' r p, -f- p! — I dr

dx' X dx

avec les conditions

On peut donc écrire avec les conditions

., dr ., dy

Le théorème précédent, c'est-à-dire l'identité

conduit immédiatement à la relation cherchée entre la fonction déterminante g{^) de P et celles hiio) — f/ — ['^,'J.i^o des facteurs réguliers Aj.

En effet, cette identité ayant lieu entre des formes normales, si j'observe que la fonction déterminante de A', est p — i-+- 1 — [«/]j.=o, j'aurai identiquement

c'est-a-dire

ff(p)-/i,(o)/i,{p-,)/,4p.-^).. A^p-m^,).