Le fait saillant est celui-ci

Lorsque la variable décrit une courbe fermée, dans la région T, fai-

satit une circonvolution autour d'un point singulier, les nouvelles valeurs {y,)', (yi)', ■•., (jm)' qu'acquièrent m intégrales sont des fonctions linéaires, homogënes, à coefficients constants, de leurs valeurs primitives y,, ^j, . . . , y,„, et, si ces valeurs primitives forment un système fondamental, les nouvelles valeurs constituent aussi un système fondamental.

Cette propriélé simple est caractéristique des fonctions qui satisfont à une équation différentielle linéaire, homogène, à coefTicients monoiropes, car on démontre cette proposition réciproque :

Soient y,, ja, , . . , y,„ m fonctions de x, holomorphes dans une partie T du plan, à contour simple, excepté pour certains points isolés les uns des autres ; si les nouvelles valeurs (^i )', (js)', . . . , {fn,}' qu'acquièrent ces fonctions lorsque la variable fait le tour d'un de ces points peuvent s'exprimer en fonction linéaire, homogène,, à coefïieients constants, des valeurs primitives, ces quantités j,, /a, . . . , /,„ sont les intégrales d'uue équation différentielle linéaire, homogène, à coefFicients moootropes dans la région ï.

Quand les m fonctions y sont linéairement indépendantes, cette équation différentielle est d'ordre m; sinon, elle est d'ordre Inférieur.

V.n particulier, les m fonctions atgchriques de x, définies par l'équafion

oii/{û;,j) est un polynôme de degré m eny, ne faisant que s'échanger entre elles quand la variable tourne autour d'un point singulier, seront les intégrales d'une équation. différentielle linéaire, homogène, à coefficients monotropes, que M. Tannery a appris à former.

9. Les valeurs finales qu'acquièrent les m intégrales d'un système ■ fondamental quelconque après une révolution de la variable autour d'un point singulier prenant la forme d'expressions linéaires, homogènes, à coefficients constants, en fonction des valeurs initiales, on peut choisir le système fondamental de manière à simplifier ces expressions et à y annuler plusieurs des coefficients constants.

On établit en effet que, à tout point singulier, correspond un système fondamental déterminé, où les éléments se partagent en groupes tols que, dans chaque groupe convenablement ordonné, la nouvelle valeur

li'un élément soit une fonction iinéaii'e liomogène des anciennes valeurs de cet élément et de ceux qui le précèdent dans le groupe. On peut d'ailleurs, sans altérer les propriélés d'un groupe, y remplacei' une quelconque des fonctions par une combinaison linéaire, homogène, à coefficients constants, de celte fonction et des précédentes. Ce système fondamental, qui conduit à des relations si simples, dépend d'une certaine équation de degré m, dite équation fondamentale, relative au point singulier considéré.

Il y a plus. Les propriétés élémentaires de ce système fondamental particulier, corrélatif d'un point singulier a, permettent de trouver la forme analytique de ses éléments dans le domaine du point a. C'est ainsi qu'on a été conduit à la proposition suivante :

Soit n le nombre des racines distinctes to,, w,, ..., w„ de l'équation fondamentale relative au point singulier a; soient).,, \«, ..., >,„ leurs ordres de multiplicité respectifs, la somme X, -f- >., + ... + X„ étant égale à m; les éléments du système fondamental corrélatif se partagent en n groupes correspondant respectivement à ces racines, et les î. éléments qui conslituent le groupe répondant à la racine ûj, d'ordre de multiplicité X, peuvent, dans le domaine du point a, s'exprimer sous ces formes :

[x — a)'-[9„ -+- ç., \o^[x — al],

{x - aY\<^,, H^ <p„ log(:c - «) + (P3,[l0g(-T - «)p {,

(;(: — « j' {71. + <jj).aog(ar-(i) + 9x,[log(a; — «)]' + ... + 9u[log(^— «)]'-'{, oùrdésigne une valeur quelconque, mais déterminée, de la quantité ^=logiu>, et où les £1 représentent des fonctions de ijc, monotropes

dans le domaine du pointa, continues et monogènes dans ce domaine au point a près, et que, par suite, on peut y développer en doubles séries convergentes, procédant suivant les puissances entières, positives et négatives de x — a.

Il faut observer en outre :

i" Que les quantités o peuvent s'exprimer en fonction linéaire, homogène, à coefficients constants, de celles d'entre elles où le second indice est r ;

THEORIE DES EQUATIONS DIFrÉRENTlELl.ES I.INf:AlliES. [ [

2" Que les quantilés <p,,, çt^a, ..., «}),, dont les deux imlices sont égaux, ne difierent mutuellement que par des facteurs constants; 3" Que tonséquemmenl les produits

qui multiplient les plus hautes puissances du logai-ithmo, sont des intégrales, comme le produit {x — af^f,;

4" Que les exposants fixes r,, r^, ..., r„ ont des différences mutuelles qui ne sont ni nulles ni entières, car autrement les racines m,, w, . . . . , co„ ne seraient pas distinctes.

10. Connaissant la l'orme analytique des éléments d'un système fondamental, dans le domaine du point singulier a, on en conclut immédiatement celle de l'intégrale générale. L'intégrale générale est la somme de m expressions de la forme

.(-:(>-«)^J9,, + 9„log(^-«) -4- ç,4los(.^ -«)]' + ...+ 9,,,[l0g(:r-«)]-J,

C étant une des m constantes arbitraires.

Effectuons cette somme, ordonnons-la par rapport aux puissances distinctes de a; ~ a, déterminons arbitrairement les constantes, et nous obtenons pour une intégrale particulière quelconque la forme suivante dans le domaine du point a :

I C, [.r - «)'. J9.,,-4- p„, Iog(a; -n]+...-h 9.,., [log(x - a]Y< \

[ +(:„(x-«^j^,,.+ cp,„,[og(^-«)H--- -?-,».[log(^-«)]""{,

où les C sont n constantes, où les r sont des exposants fixes dont les différences mutuelles ne sont ni nulles ni entières, et où les y sont des fonctions de ce, monotropes dans le domaine du point a, continues et monogènes dans ce domaine au point a près, et par conséquent développables en doubles séries, convergentes dans ce domaine, telles que

désignant un nombre entier.

13 C. IXOQOET.