On démontre sans peine que

Si une expression de la forme [0] est identiquement nulle, loules les i'oticLions f sont identiquement nulles.

D'où l'on tire ees conséquences :

i" Lorsque deux expressions de la forme (6) sont identiquement égales, elles sont composées des mêmes fonctions (ir ~-a)''[Iog(^ — '')]'■ avec les mêmes coefficients;

2" Toute intégrale, de l'équation différentielle P = o ne peut se mettre que d'une seule manière sous la forme (5), dans le domaine du point singulier a;

3° Étant donnée une intégrale, construite dans le domaine du point a avec ces produits (œ — a)'" [log(a: — a)]'', si on l'ordonne par rapport aux puissances distinctes de œ — a, de telle façon que dans deux termes quelconques la différence des exposants du facteur x ~ a ne soit ni nulle ni entière, chaque terme de l'intégrale ainsi ordonnée sera aussi une intégrale, et, dans ce terme, le coefficient de la plus haute puissance de log{x — a) sera lui-même une solution. Cette dernière partie résulte d'une remarque faite précédemment, et peut d'ailleurs s'établir directement, car on démontre a /?nori que, si

(^ " «j"! ?.. -+*'P.> iog[^ -«} + .•■+ v-^^Liogl^ -«)]"-' !

est une intégrale, il en est de même de {x — aYfr^r,-

12. Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des points singuliers situés a distance finie; or la région T peut s'étendre » l'infini : par exemple, elle peut embrasser tout le plan. Mais on pourra toujours, en changeant la variable indépendante, ramener l'étude d'un point situé à l'infini à celle d'un point situé à distance finie.