VS

siii'ain|(K + /K')

Vs-

sin' coamf(R + (K') sin'am|(K — iK')

sin^coam |(K — iK')

Vs

sin' coam ~ R

sin^amî(R — iR')

an» coam |(R— iR')

VST

sin»am|(R-hiR')

sin^coam i(K.-4- i¥J)

Les formules relatives aux racines A donnent lieu à des résultats entiè-

rement semblables, et quant aux formules (4)) je me bornerai à remarquer que les deux modules

= et

étant réciproques, elles sont identiques au fond sivec les formules (5) et peuvent s'y ramener par la substitution de — ^ — à ci>. Je ne m'arrêterai pas

non plus aux relations qui existent entre les racines de chacune des équations f{x) = o, f^ (jc) = o, F (x) = o, et auxquelles conduisent aisément les expressions que nous avons données. Seulement j'observerai que ces équations, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques que j'ai employées, n'appartiennent pas au type d'irrationnalités le plus complexe de réquation générale du quatrième degré. Effectivement, si l'on considère à leur égard Téquation en Y de Galois, dont le degré distingue et caractérfse d'une manfère si précise ce qu'on peut appeler les divers ordres d^irrationnalités, on la trouve seulement du douzième deg|é, tandis que dans le cas général elle est nécessairement du vingt-quatrième. Il existe donc pour ces équations des fonctions non symétriques^ exprimables rationnellement par les coefficients, et le type de ces fonctions est donné très-simplement par le produit des six différences des racines. De là découlent, pour la théorie des fonctions elhp-

( «5) tiques, d'importantes conséquences, se résumant dans ce fait, que le produit des deux fonctions cp {(ù) et t^ {tù) est le cube d'une nouvelle fonction également bien déterminée. Une formule depuis longtemps obtenue par Jacobi (Fundamenta, § 36, équat. 4) donnait déjà, il est vrai, la notion de cette nouvelle transcendante, mais sans conduire à aucune de ses propriétés, que je vais indiquer succinctement en terminant cette Note. Et d'abord je la définirai par Téquation

X(«)='Vâ.î^{i-?)(n-9»)(i-7»)(n-9*)...,

en faisant toujours çzse'"^, de sorte que, relativement à w, on obtienne une expression entièrement déterminée. Gela posé, on aura ces relations qui se démontrent immédiatement, savoir :

Voici maintenant celles qui se rapportent aux substitutions de la

forme ^ ^^ > a, 6, c, d étant des nombres entiers assujettis à la condition

ad— bc=zi^ et qu'il importait surtout d'obtenir. Distinguant, ainsi que je Fai déjà fait dans une circonstance toute semblable, ces substitutions en six classes {vojrez page. 4)^ et posant, pour abréger,

— - («ft -h tf c -H W — «**c)

on aura

(■) X (^:) = px(«) (à) «

3lir

3 tir Si-sr

Les symboles (-j? I|)ï etc., indiquent, suivant Tusage, le caractère

quadratique du dénominateur par rapport au nombre 2.

J'espère pouvoir présenter dans une autre occasion les conséquences de ces théorèmes pour l'arithmétique.

SUR OUELQUES THEOREMES D'ALGERRE

BT

LA RfimilTION DE L'iQDATION DD QIIATRIÊHE DEGRÉ.

On sait que toute équation y (j:) = o peut être transformée en une autre du même degré enj^ par la substitution jr = fi^)-, oiifpx désigne une fonction rationnelle. Ce procédé de transformation, qui est si fréquemment employé en algèbre, va nous servir pour ramener l'équation générale du quatrième degré aux équations particulières qui ont été considérées dans un précédent article, et dont j'ai exprimé les racines au moyen des fonctions elliptiques. Mais en raison de son importance, et notamment de son application à la résolution de l'équation du cinquième degré, ce mode de transformation m'a paru demander une étude nouvelle, et je commencerai d'abord par en donner les résultats.

Soit

f{x) = a^ + haf*^^ 4- ... -h gx* -h Ax -h A = o

l'équation proposée; l'expression la plus générale de ^ a? sera, comme on le sait, une fonction entière du degré /i — i , savoir :

f (a-) = ^ 4- UX -h ^1 JC* 4- . . . + tn^%3^^ .

Cela posé, en représentant la transformée en y par

f + PkJT^' 4- /7a/^* 4- . . . 4- /?„ = o,

l'un quelconque des coefficients, tel que je?/, sera une fraction ayant pour dénominateur a^""*^', et pour numérateur une fonction entière, homogène, de degré i par rapport à /, ^o) ^m • • • > ^«-a > ^^ de degré (/i — i) / par rapport aux coefficients a, 6, . . . , A, /:. Ce degré si élevé rend en quelque sorte H. 3

( '8) impraticable le calcul de Téquation en y^ aussi ce qui a été obtenu de plus important par la considération de cette transformée, en particulier le théorème de M. Jerrard sur Téquation du cinquième degré, ne semble établi qu'à titre de possibilité, en raison de l'excessive complication des opérations nécessaires poui" parvenir à un résultat effectif. Mais on peut surmonter ces difficultés par la proposition suivante. Soit

^ = aT-+-iTo-l- ... -4-gT,^,-f- AT,

«<,=t«to + 6T, -4-...-f-gT

CeAte substitution effectuée dans la Jonction pi la changera en une fonction P, du même degré par rapport aux indéterminées nouvelles T, T^, T| , . . . , T„^, mais débarrassée de tout dénominateur, et du degré i seulement par rapport aux coefjir

cientsa^ b, .,,^h^ k. Déplus P^ sera divisible pam^ de sorte que^ P„ ne sera

que du degré /i — i par rapport à ces coefficients.

Cette proposition, très-facile à. établir, conduit à ta véritable forme analytique qu'il est convenable de donner à la fonction <p (x), de sorte que désormais la formule de transformation sera ainsi représentée :

bx -f- c

T, M- ... -f-<fwr^*

et l'équation transformée par

tous les coefficients étant des fonctions entières de ceux dey^(a:).

Une autre conséquence résulte encore dé IHntroâuction des variables T, To» T<,...,Tfl«a. On saitde combien detravaùxa été l'objet la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées, et combien de notions analytiques importantes cette étude a données à l'algèbre. Par exemple, ces fonctions désignées sous le nom AHnvariants, en raisoti tnéme de la propriété qui leur sert de définition, de se reproduire dafns toutes Jes tranrformées par des substitutions linéaires, dontient les éléments qtii caractérisent les propriétés

( "9 ) essentielles des racines des équations algébriques , celles qui subsistent dans ces diverses transformées {*). D'autre part, la connaissance acquise de ces fonctions, et de celles qu'on nomme covariants, permet, ds^ns beaucoup de circonstances, d'obtenir sans efforts le résultat de longs calculs qui, sans leur emploi immédiat, n'eussent au fond servi qu'à les mettre en évidence, ou à faire ressortir dans une question spéciale Tune des propriétés dont on possède maintenant la signification la plus étendue. Mais tant de beaux résultats, dont la science est surtout redevable aux travaux des savants géomètres anglais MM. Cayley et Sylvester, semblent ne pouvoir être utilisés, lorsqu'on sort de la comparaison des équations par des substitutions linéaires de la forme

JC=^

aX

ou bi^n X

a — yx

pour considérer, comme nous le faisons ici, les substitutions les plus générales^. Effectivement, aucune combinaison rationnelle des coefficients /7|, P%9'*>^Pny ne &it apparaîtra les covariants de l'équatioo proposée; mais, comme nous allons voir, il arrive que ces quantités se manifestent, au contraire^ immédiatement par l'introductioii des variables T, T^, T|, ..., T^,. C'est ce qui résulte de la pnoposition suivante. Soit

F (X) = (yX -h ^Tf(r^^^ = AX« -h BX"-^ +. . .-h HX H- K = o

la transformée par la substitution [i) de l'équation proposée, et représentons l'expression analogue ô f (iV)., mais relative à cett^ équation, par

AX