AX"-* BX

Gn-î

(*) Par exemple, les conditioDs qui ^déteripinent le nombre des racines réelles et imaginaires dans les équations à coefficients réels, dépendent uniquement des invariants, sauf le cas du quatrième degré. J'ai donné ces conditions^ indépendamment du théorème de M. Sturm, pour les équations du cinquième degré, dans un Mémoire sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées. {Cambridge and Dublin Mathematical Journal; année i8540

(ao) on pourra immédiatement obtenir 0, en faisant dans 9, en premier lieu :

To ={a^-^y)ia-h^ts)"->,

T, =(a(?— |37)(a+|36)»-»(7 + Jg),

^ ^^ ' T.- = {aâ - ^y) (a + ^6)""»-* (7 + Jg)S

sous la condition qu après les développements on remplace e' par 6^, de manière à parvenir à des expressions linéaires en 60, S|,..., ©n-aj en second lieu^ et pour ce qui concerne T, la valeur à substituer se déduira de la relation

/iaT4-(/i- i)^>ToH-(n- 2)cT,+...-4- 2gT„3H- AT„2 = wAe + (/ï — i)BSo-f- (^ — a)Ce4-f-...-h aG6„8 -^ HS;,a.

On remarquera la liaison qu'établit cette proposition entre les deux groupes d'indéterminées To, T^,..., T„2i ^0» ^ivm ^/»-aî ^^ '^ rôle entièrement séparé de l'indéterminée T. Ces relations (3), indépendantes des coefficients a, è,. M S^i ^? représentent précisément ce que M. Sylvester a nommé une substitution congrédiente avec la substitution binaire :

et le sens qu'on doit attacher à cette expression se trouvera nettement fixé par cette proposition :

Désignons respectivement par S et (S) les substitutions (3) et (2); 51* Von obtient S en composant deux substitutions analogues S\ S"^ de sorte qu'on ait

la substitution (S) sera de même composée de deux autres, et si l'on représente par (S') et (S") les substitutions déduites de S' et S", d'après la même loi que (S) de S, on aura la relation

De là résulte que toute fonction des quantités P|, Pjv--^ P»? indépendante de T, par exemple toutes les fonctions symétriques des différences des racines^, seront, par rapport à T©, Ti,..., T„«a, des covariants de la fonction

( ai ) homogène /"/(-)• Telles seront en particulier les quantités

(«-i)PÎ-2/iP,, (/i-i)(/i-a)Pî-3n(/i-a)P,Pa-f-3n*P„ etc.,

qui jouent le principal rôle dans les recherches que j'ai entreprises sur la réduction de Téquation du cinquième degré à la forme obtenue par M. Jerrard. Mais, en ce moment, c'est aux équations du quatrième degré que je vais appliquer ces considérations, afin de les réduire à la forme

et par là d'en conclure les expressions de leurs racines au moyen des fonctions elliptiques. Je me fonderai à cet effet sur cette remarque que dans cette équation, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques auxquelles elle a été comparée, savoir :

et

i^* -h a tt* v^* — a wi^ — u* = o,

l'invariant quadratique est nul. Or toute équation du quatrième degré

Ax*-^ 4Bx* -i-6Ca:*+ 400- H-E= o,

où Ion suppose cette quantité

I=AE-4BD4-3C* = o,

devient, en y remplaçant x par — j— ,

a:* - 6 (B» - AC) jc» - 4 (A*D - 3 ABC + aB») jc - 3(B« - AC)* = o;

ce qui est bien la forme de l'équation (4). Etant donc proposée Téquation générale

ax^ -h 4 ^^' + 6 c^^ -4- 4 ^^a? 4- ô = o,

essayons de déterminer la substitution

jr = ff[x) = aT -^ ax

cuxr

^bx

axr

libx^ 6 ex

4rf

(a.) de manière que dans la transformée que nous écrirons ainsi

l'invariant quadratique soit égal à zéro. On devra poser

P,-^4P|P.-^3PÎ=^o,

relation du quatrième degré par rapport à T^, T|, T^; mais ce qui justifie précisément le mode de réduction que nous avons en vue, c'est qu'elle se décompose en deux facteurs, de sorte qu'en posant

^=aTJ-H4^T;H-eTJ-f-4rfT^T,-i-3cTpTaH-4*ToTo I =K «6 — 4 ^^+ 3 <:', ï = ace 4- ikbcd — ad^ — eb* — c', on aura l'une ou l'autre de ces équations du second degré seulement

If+^6J + -^V^P-a7J»)(ToT,-TÎ) = o,

On pourra donc, et d'une infinité de manières, en s'adjoignant de simples racines carrées, déterminer une substitution qui ramène toute équation de quatrième degré à l'équation (4), dont les racines ont été exprimées par les fonctions elliptiques. Et on remarquera que f est bien un covariant de la forme

/a* ax* -h Aix*jr^6cx*y^ 4- ^dxj* -h ejr\ car «dUte qoaïitité peut s'oblieiiir en rem[daçant dam l'expreasioD

or', xjr, j^ d'une part, §^, Çij, >}* de l'autne, respectivement par T©, T,, Tj, d'ailleurs I et J sont les deux invariants et P — 27 J' le discriminant.'

Mais il est une autre équation que présente la théorie de la transformation du troisième ordre et à laquelle on pourrait, par une substitution

de la forme y = ^ — ^> ramener également toute équation du quatrième

degré. Soit, en général, pour un ordre quelconque n,

en partant des expressions données dans les Fundamenta pour X et X' et d'où on tire

- j.„ an coam 2» . sincoam 4^ » .• • sîpcoaro ( ^ — ') ft>

le P. Joubert a fait la remarque importaQte que le3 fonctions rationnelles symétriques des diverses valeurs 4e Y qui correspoiMient à /toutes les déterminations de 0), ne dépendent que du produit du module par son complément, de -sorte qu'ail «xiste entre V «t U une équation de 4egré « -f- 1 , analogue pour pt'usmirs proprtéléB esséntieHes (^) à Téquation «modulaine entre (^ et u. Par exemple, pour w = 3, /i = 5, w = 7, le caleul ^fectué par le P. Joubert donne les relations

V*-4U»V«H-aUVH-U* = o, V*^ i6U»Y»4-i5D*V*-h i5U*V*^-4UV + U« = o, V«-64U^V'-!-7.48U«V«-7.96U*V»-f-7.94U*V* - 7.48U* V» 4- 7 . 12U* V* - 8UV+ !]• = o.

C'est la première qui pourrait servir à Tobjet que nous indiquons ; mais je me bornerai, en terminant cette Note, à montrer qu'elle donne un nouvel exemple de ce rapprochement que j*ai essayé de faire ressortir, entre la théorie de la transformation pour le troisième ordre et celle des formes cubiques à trois indéterminées. Effectivement, le paramètre / qui figure dans la transformée canonique

a:' -H/* -+- z^ •+: 6ir/z, dépend des invariants S et T, ou plutôt de S et S| par l'équation

Or il suffit, en introduisant une seule indéterminée, de poser 1 = pY pour la ramener à la relation entre V et U. De là résulte qu'en prenant pour

(^) Ces propriétés seront i*objet d'un prochain article.

module

et posant^ pour abréger,

9 = |(fnK. + in'iR'),

on a ces expressions des trois quantités â, A et /, savoir :

sin'amy i /g i + cot'amy , S

S Àanif f S| sincoam^

Dans ces formules m et m^ peuvent être pris égaux à deux nombres entiers quelconques, pourvu qu'on ne les suppose pas en même temps nuls ou divisibles par 3.